1 高斯巧算 等差数列及其求和
德国著名的数学家高斯（1777—1855）是近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”之称。高斯对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献，以“高斯”命名的成果达110项之多。
高斯10岁的时候，他所在的学校开始上算术课。有一天，算术老师比特纳先生出了一道加法题：从81297开始，下一个数比前一个数始终多198，一直累加到第100个数，和等于多少？
81297+81495+81693+…+100503+100701+100899=？
拿到这道题，估计大多数人会这样做题：
考虑到每一项数都要累加198，这样做大概要有200个算式，会耗费很长的时间，并且每一个步骤都不允许算错。这真是一个累人的差事！
比特纳老师刚刚在黑板上写下题目没多久，高斯就算出了答案：
9109800
高斯是如何做到计算得又快又准呢？首先，把81297、81495、81693、…、100899在纸上从小到大写成一行，然后再将这100个数按从大到小的顺序再另写一行，并且依次与第一行的数上下对齐：
这样就会发现上面的100组数的和完全相同，均为182196，所求的答案为：
182196×100÷2=9109800
比特纳老师出的算术累加习题属于项数有限的等差数列求和问题。
对于全部为正的等差数列，可以形象地理解成上面的情形：如图1-1所示，图中条的长短表示每项的大小，按各项的大小，从上到下依次排列成为一个梯形，而两个相同的梯形交错组合在一起，就构成了一个矩形。梯形面积相当于等差数列的和，矩形面积相当于梯形面积的两倍。
图1-1
类比于梯形的面积公式，就可以得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
例题1.1 一个女子不善织布，结果每天织布的数量按相同的数量递减，第一天她织布的数量是5尺，最后一天她织布的数量是1尺，她织布的总天数是30天，那么，她一共织了多少尺布？（改编自北魏的《张邱建算经》）
解答
这个女子每天织布的数量构成等差数列。考虑到递增的等差数列更容易理解，不妨倒过来处理，将最后一天的织布数量作为首项，第一天的织布数量作为末项，写出已知条件如下：
首项=1 末项=5 项数=30
这样，女子织布的总数量为：
（首项+末项）×项数÷2=（1+5）×30÷2=90（尺）
这个女子一共织了90尺布。
例题1.2 小明在读一本小说，第一天读了10页，以后，他每天都比前一天多读2页，最后一天他读了50页，恰好把这本小说读完了，请问：这本小说一共有多少页？
解答
按题意，列出这个等差数列，即
10,12,14,16,…,48,50
其首项是10，末项是50，公差是2。
末项=首项+（项数-1）×公差
因此，有
项数=（末项-首项）÷公差+1=（50-10）÷2+1=21
这样，有
（10+50）×21÷2=630（页）
这本小说一共有630页。
例题1.3 聪聪所在的班级一共有35个学生，在一次数学竞赛中，聪聪排在第18名，并且他的成绩是60分。数学老师说，这个班级学生的成绩恰好构成了一个等差数列，你能知道这个班级学生的总分是多少吗？
解答
用首项、末项、项数和公差的公式计算这个班级的总成绩，令人束手无策。
仔细分析会发现，这个班级的人数即等差数列的项数是奇数，并且聪聪的排名恰好是等差数列的中间项，假设等差数列的公差是d，那么，将班级学生的成绩从低到高排列，有
第18名的成绩是等差数列的中间项，第1名和第35名的成绩之和、第2名和第34名的成绩之和、…、第16名和第20名的成绩之和、第17名和第19名的成绩之和均等于中间项的两倍。这样，就得到项数为奇数的等差数列的求和公式：
和=中间项×项数
这个班级学生的总分为60×35=2100（分）。
例题1.4 明明所在的班级组建了数学兴趣小组，包括明明在内，这个小组共有10位同学参加。最近的一次测验中，这个小组每位同学的得分都是整数，并且恰好构成了一组等差数列。明明的成绩是94分，小组的总分是835分。请问：最高分和最低分分别是多少？
解答
只有10个数，不妨直接将这些数列出来，穷举法是解算术题经常用到的技巧。
根据公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
可以知道，最高分+最低分=835÷10×2=167。加起来等于167的分数共有5组，与94分相对应的分数为167-94=73（分）。
（1）假设公差是1
则最高分和最低分的差是9，而94-73=21>9，这样，可以排除公差为1的可能性。
（2）假设公差是2
明明的分数是94分，则所有的分数将是偶数，73分不会出现，可以排除公差是2的可能性。
（3）假设公差是3
（94-73）÷3+1=8
在94至73之间（包括94和73）一共有8项，在两边再各加1项。
97 94 91 88 85 82 79 76 73 70
这10个数才是符合条件的得分情况。因此，最高分是97分，最低分是70分。