2.1 定位精度的理论极限
为了便于说明，在本文中，我们主要考虑二维场景，并假设节点间测量是由式（1-12）建模的无线信号，节点自身的测量仅涉及相对位置，即式（1-3）中的n0=1。通过增加状态和冗余参数向量以包括特定于每个场景的附加参数，可以很容易地将基本框架扩展到多径、动态或三维场景。
在这个简化的场景里，状态矢量仅包括移动节点的位置，记为
，节点间和节点自身的测量分别是式（1-12）中给出的无线信号
和式（1-15）中给出的速度测量。因此，由式（1-1）给出的tn时刻的参数向量可以表示为
其中，冗余参数
=∅。在视距情况下，
，而在非视距情况下，
。在本节中，我们只关注最简单的情形，即移动节点在一个静态网络中，并且互相之间不发生协作（时空协作的情形在2.2节中给出）。这个情形本质上转化为了N=1，Na=1的情况。此时，测量集只包括移动节点1和其他锚点之间的测量（即
），我们所感兴趣的参数是移动节点1的位置p1（只考虑一个时刻，省略上标）。
2.1.1 同步网络
我们首先推导出在移动节点和锚点之间全都同步的情形下，移动节点1位置的EFIMJe（p1）。推导过程分为以下两个步骤：首先，证明非视距信号可以从原始费歇尔矩阵（FIM）中消除掉，而不损失任何与移动节点1位置相关的信息，这可以进一步降低EFIM的维度。接着，用等效费歇尔信息（EFI）分析的方法可以进一步消除信道参数，得到移动节点1位置的EFIM，即
其中，Nb，LOS表示向移动节点1提供视距信号的锚点集合（非视距信号的锚点集合用Nb，NLOS表示）。最终的EFIMJe（p1）虽然比原始FIM维度低很多，却保留着所有估计p1所必要的信息。
在阐述该定理之前，我们引入距离信息（RI）的概念，它构成二维网络中位置信息的构建块，如下所示。
定义2-1（距离信息RI）：RI是一个形如λJr（ϕ）的2×2的矩阵，其中λ是一个称作距离信息强度（RII）的非负数，Jr（ϕ）是一个关于角度ϕ的2×2的距离方向矩阵（RDM），表示为
定理2-1：在信道和位置参数的先验知识未知的情况下，移动节点1位置的EFIM可以由下式给出：
其中，ϕ1j是移动节点1到锚点j的角度，λ1j是从锚点j得到的RII，如下式所示：
式中，β是有效带宽，SNR1j是信号的SNR，分别由下式给出：
注记2：该定理及其扩展揭示了对网络定位本质的理解，展示了非视距条件、多径传播、信号带宽和网络几何结构是如何影响定位精度的（参见图2-1）。
图2-1中，锚点5由于非视距传播而不提供任何距离信息，其他锚点沿着锚点到移动节点1的方向为其提供强度为λ1j的距离信息。中间的椭圆表示移动节点1的信息椭圆（在2.3节给出）。
图2-1 一个拥有1个移动节点和4个锚点的网络
• 非视距条件：当没有关于非视距偏置的先验知识时，非视距信号对于移动节点位置的EFIM没有贡献，即RII1λj=0，j∈Nb，NLOS。这是因为根据非视距信号的时延所估计的节点间距离中包含了未知的偏置b1j的影响。因此，非视距信号不影响定位的EFIM。然而，非视距信号可以用于定位的算法，例如去除移动节点位置的模糊性或帮助搜索移动节点的位置。
• 多径传播：式（2-3）给出的EFIM也适用于多径传播场景，此时接收信号建模为
其中，L是多径分量的数量，αkj，l和τkj，l分别是第l条径的增益和延时。在这种场景下，RII变为
其中，χ1j∈[0，1），是路径重叠系数，表征了RII由于多径传播而减弱的特性。在第一路径的SNR1j相同的情况下，式（2-8）给出的多径情况的RII小于式（2-4）给出的单径情况的RII。这种减弱是由于多径分量干扰第一路径的到达时间的估计而引起的。减弱的量由信号s（t）的有效带宽和接收信号的第一相邻簇中的多径分量的路径间延迟决定[1]。对于第一路径可从其余多径分量解析的特殊情况，RII不会减弱，并且将退化到单路径的场景。
• 带宽：RIIλ1j正比于SNR及传输信号s（t）的有效带宽的平方，即双倍的SNR可以把SPEB降低一半；而将有效带宽加倍，则可以将SPEB减少四分之三。此外，结合多径传播的影响，较大的带宽也提高了多径分量的分辨率，抑制了由于多径传播造成的RII减弱。因此，我们更希望使用具有较大带宽的信号来进行高精度定位。
• 网络几何结构：在具有L个多径分量的传播场景中，原始FIM的维度为（2LNb+2）×（2LNb+2），其维数很高，而式（2-3）给出的EFIM是一个2×2具有规范形式的矩阵，即各个锚点的RDM的加权和。锚点j只能提供沿着方向ϕ1j、强度为λ1j的一维距离信息。
对于贝叶斯模型，当信道参数的先验知识已知时，EFIM也是由各个锚点的RDM加权和构成的，如下式：
其中，
是包含信道先验知识的RII。在这种情况下，信道参数被认为是随机的，因此式（1-1）中的参数向量θ（n）被称为混合参数向量。在满足一些正则条件下，式（1-16）中相应的信息不等式仍然适用。注意，先验知识的引入对于视距和非视距信号的RII都有所提升，即
总是大于或等于式（2-4）中的λ1j在随机信道参数上的期望值。此外，非视距的RII严格为正，这说明相对于信道先验知识未知的情况，贝叶斯模型中的非视矩信号也能提高定位精度。
进一步，当移动节点位置的先验知识已知时，位置p1可以被建模成一个随机变量（RV），并且p1的EFIM可以写为
为了符号一致，这里我们用
和Jp（p1）表示有位置先验知识的EFIM，但它们不再是p1的函数。式（2-10）右边第一项是式（2-9）对p1求的期望，第二项对应从先验知识中获得的信息，表示为
这与我们的直观认识一致，即来自位置先验知识的附加信息提高了总体的EFIM，从而改善了定位性能。
定理2-1的结果提供了对网络定位最关键的解释，是研究更加复杂的网络场景和系统参数的基础。
2.1.2 异步网络
高精度网络定位与导航所需的同步是纳秒级的，这比大多数数据通信网络（微秒级）要严格得多，微秒的时钟偏差将会导致数百米量级的定位误差。换言之，从高精度定位的角度来看，当前由大多数通信基础设施构成的网络被认为是异步网络。
接下来我们考虑移动节点与锚点不同步的情况。该场景可以分为两类：（1）锚点之间是同步的，例如通过光纤同步的固定基础设施；（2）锚点之间也是不同步的。
在第一类场景下，移动节点可以通过TDOA的方法来进行定位，移动节点的时钟偏差可以由不同锚点的TOA的差分消除掉。把移动节点1的时钟偏差记为ν1，则式（1-13）中的信道延迟可以写成
因此，移动节点1的时钟偏差可以合并到参数向量中，有
使用EFI分析，可以推导出关于移动节点1位置和时钟偏差的EFIM为
如果我们只对位置估计感兴趣，移动节点1位置的EFIM可以进一步简化为
其中，
，取决于每个锚点的RII及网络几何结构。
因为
是半正定矩阵，并且λ1j对于j∈Nb，LOS都是正的，对比式（2-15）和式（2-3），可知
并且式（2-16）只在uB=0时取等号。不等式（2-16）符合我们的直观认知，即由于估计问题涉及额外的未知时钟偏差，在异步情况下的定位精度会降低。
式（2-14）中的EFIM还表征了移动节点1的同步性能。通过将节点位置视为冗余参数，可以推导出移动节点1时钟偏差的EFIM为
注意到式（2-17）中的第一个求和项是移动节点位置精确已知情况下的同步信息。但是，由于移动节点位置的不确定性，同步性能将如预期一样降低。实际上，式（2-14）中的EFIM表征了耦合在无线网络中的联合定位与同步的性能。
现在考虑第二类异步网络，即锚点之间不同步的情况。此时，上述TDOA方法不能再用于定位。这种场景下一种可行的定位方法是通过双程TOA测距，移动节点通过使用从锚点发送和接收的双程信号之间的时间差来估计其与锚点之间的距离。对于任何视距信号，锚点接收（在锚点的时钟上）和移动节点接收（在移动节点的时钟上）的双程信号的延迟分别由下式给出：
其中，vj是移动节点1和锚点j之间未知的时钟偏差。有了这两个时间测量后，通过使用双程TOAτ1j+τj1[2]，可以消除时钟偏差。
通过双程TOA推导出的移动节点位置的EFIM为
虽然式（2-19）给出的EFIM的结构仍然为RDM的加权和，但是此处的有效RII变为λ1j和λj1的调和平均值的两倍，这与同步情况和第一类异步情况不同。造成这种结果的原因是双程TOA的测距精度同时取决于两个方向上的延迟估计精度，并受其中较差的那个测量的精度所限制。
在诸如蜂窝网络的高度异步网络中，由于网络中锚点的发送信号功率远远高于移动节点的发送信号功率，即RIIλ1j≫λj1，因此使用双程TOA的测距精度主要受到移动节点发送信号能力的限制。在这些情况中，式（2-19）中的EFIM可以近似为
其中只涉及由移动节点1发送至锚点j的信号的RIIλj1，系数4是由于对两个方向上的TOA估计值取平均而产生的。
2.1.3 天线阵列定位
之前章节中，我们考虑的是每个移动节点都配有单个天线的场景。随着多天线技术的发展，基站和移动设备现在广泛配备多个天线用于高吞吐量通信，这一面向通信的多天线技术也可被用来提高定位的性能。
在这一节，考虑移动节点1配备有Nt个天线的阵列，索引集为Nt。移动节点的中心位置记为p1，第l个天线的位置记为q1，l，其中q1，l∈R2，l∈Nt。由于阵列的刚性，每个天线的位置可以写成关于中心位置p1和方向1ω的函数（见图2-2），有
其中，Δ1，l表示第l个天线和移动节点中心之间的距离，ψ1，l表示移动节点第l个天线的相对方向（见图2-2）。图中，位置信息可以分解为RI和方向信息（DI），它们分别与基带信号的平方有效带宽和平方载波频率成正比。我们考虑锚点与移动节点之间的距离足够大于阵列维度的情况，比如远场条件下，并且可以认为从任一锚点到移动节点的所有天线的信道幅度都是一样的。此外，假设在相邻天线处接收信号的相位差异小于2π，这样就没有周期性相位模糊问题了。
图2-2 具有未知初始载波相位的天线阵列定位
假设锚点j的发射信号由基带信号s0（t）用载波频率fc调制得到，有
其中，
，ζj是未知的初始载波相位，可以认为是一个参数。我们假设s0（t）是一个带限的实信号，因此其频谱关于原点对称。
可以证明
其中，β在式（2-5）中给出，β0是基带信号的有效带宽，可以表示为
因此，sj（t）的平方有效带宽是其基带对应部分和平方载波频率的总和。正如稍后将要证明的那样，平方有效带宽的两部分分别与TOA和AOA信息相关。
基于图2-2中的阵列几何结构，锚点j发射的信号，即式（1-12），在移动节点1的天线l处的延迟可以写成
其中，ϕ1j是从锚点j到移动节点1中心的角度，
是非视距传播情况下的角度偏差，即
=0，j∈Nb，LOS，但在j∈Nb，NLOS情况下
是未知的常数。
在上述模型下，天线阵列定位的参数向量就可以写成
其中，冗余参数向量k1包括幅度α1j、初始载波相位ζj、非视距距离偏差b1j及非视距角度偏差
。测量包括在所有天线处接收的信号{z1j，l}，其中j∈Nb和l∈Nt。
推导移动节点1位置的EFIM可以分为两种情况：阵列方向已知和阵列方向未知。在给出EFIM表达式之前，我们定义移动节点的第l个天线相对于锚点j的角度变化量为
其中，d1j=||p1-pj||，移动节点1关于入射角ϕ的阵列孔径函数为
定理2-2：给定阵列方向1ω，移动节点1位置的EFIM是一个2×2的矩阵，有
其中，λ1j和μ1j分别是来自锚点j的RII和方向信息强度（DII），表达式如下：
其中，SNR1j由式（2-6）给出。
此外，由于在dj≫Δ1，l时
，因而式（2-29）中的EFIM可以进一步近似为
由定理给出的EFIM表达式及其近似表达式，我们可以得到以下结论。
• λ1j和μ1j的下标j属于Nb，LOS，这意味着当没有关于非视距信号的先验知识时，发射非视距信号的锚点不会提供任何定位信息，这是因为TOA和AOA测量值被未知的非视距距离和角度偏差所破坏。
• 式（2-32）求和中的第一项代表来自接收信号的距离或TOA信息，RII与
成正比，方向沿着到锚点j的径向角度ϕ1j。因此，这一项提供了沿着锚点到移动节点方向的定位信息，并且只有基带信号才能提供这样的信息。
• 式（2-32）求和中的第二项表示来自接收信号的方向或AOA信息，DII与
成正比，沿着垂直于锚点到移动节点的方向。此外，DII也与从锚点到阵列的“视角”成正比，具体可以通过关于方向ϕ1j-1ω的阵列孔径函数经平方距离
归一化计算。孔径越大，估计AOA的精度越高，这与经典的阵列信号处理结果是一致的。
注记3：EFIMJe（p1）是每个移动节点-锚点对的信息加和，其中每对提供沿两个正交方向的信息（参见图2-2中的椭圆）。回想式（2-23），s（t）的平方有效带宽可以分解为基带信号s0（t）的平方有效带宽和平方载波频率之和，这两部分分别影响RI和DI。与定理2-1中所示的未调制信号传播情况相比，式（2-32）和式（2-3）之间的差异是由在调制传输式（2-22）中初始载波相位ζj未知而导致的。在这种情况下，因为存在未知的初始相位，所以载波相位不能用于测量TOA，只有基带部分可以用于TOA信息。然而，阵列中不同天线接收的信号之间的相位差可以抵消未知的初始相位，从而导出有用的AOA信息。
此外，对于相同的有效带宽β，TOA和AOA测量对位置信息的贡献取决于式（2-23）所示的调制信号的β中β0和fc的比例。在传统的窄带阵列定位系统中，fc≫β0，因此DI在位置信息中起主导作用。相比之下，在宽带阵列定位系统中，β0与fc相当，又由于“视角”通常是比较小的量，RI可能在位置信息中起主导作用。因此，为了优化实际系统中的整体定位性能，在调制信号有效带宽固定的情况下，可以通过合理地分配β0和fc的大小在距离和方向信息之间进行权衡。
注记4：在动态场景中，节点的移动可能会造成多普勒频移。这种效应将会改变载波频率并因此改变在天线阵列处接收的信号的载波相位。需要特别指出，多普勒效应被证明可以增加从接收信号中提取的AOA信息。这种现象可以看作由运动带来的虚拟阵列孔径的扩大。
最后，我们考虑阵列方向1ω是未知的场景。与式（2-14）中的TDOA情况类似，位置和方向的EFIM可以推导为
其中
v 1 j , l =[cos(1ϕj+ϑ1j,l) sin(1ϕj+ϑ1j,l)ϑ1j,ld1j]T
w 1 j , l =[-sinϕ1jcosϕ1j-d1j]T
然后，可以使用EFI分析的方法由
进一步推导出移动节点位置的EFIM。可以直观地发现，由于附加的未知参数，未知方向的场景下基于式（2-33）的SPEB高于对于已知方向的场景下基于式（2-29）的SPEB。
需要注意的是，当我们对某些应用中移动节点的方向感兴趣时，式（2-33）给出的EFIM也可用于确定方向估计精度的理论极限。