附录 指数函数

定义指数函数es的一种方法是采用幂级数，定义方法如下

这个无穷级数对s=σ+jω∈ℂ的所有值都是收敛的（证明略），对任意s∈ℂ都有效。当s=0时，可以从这个定义得到e0=1。

接下来

回顾一下初级代数，例如

2327=210

这是具有相同底数的指数的一个性质（在本例中底数为2）。我们现在证明这个性质对es也成立。首先我们计算：

接着我们计算

通过观察我们可以看出

这个性质就是我们把叫作指数函数的原因。特别地，我们有

ese-s=es-s=e0=1

或是

欧拉公式

设s=jω是一个纯虚数，那么

cos（ω）和sin（ω）的幂级数展开为

表达式

ejω=cos（ω）+jsin（ω）

称为欧拉公式。

注意 m为非负整数，即m∈{0，1，2，…}，用欧拉公式可以写为

tme(σ+jω)t=tmeσtcos（ωt）+jtmeσtsin（ωt）

结果证明线性定常微分方程的解仅由Atmeσtcos（ωt）和Btmeσtsin（ωt）组成，这就是指数函数在线性系统理论中频繁出现的原因。

指数函数

当es中的s=σ，即s为一个实数时，

如上所示，当σ=0时可以得到e0=1。同样可以得到

eσ>0对于σ>0

很明显这是因为σ>0时幂级数展开中的每一项都是正数。同样，σ>0时我们还有（如前所示）

因此

eσ>0对于-∞<σ<+∞

图2-7是指数函数的图像，其中σ被x取代。从图中木棍人的角度来看，这个图像是y=ex的倒数图像。

自然对数函数

正如前文所示，从x∈ℝ到y=ex的指数函数总是正的。对于任意y>0，可定义自然对数函数ln（y）作为y=ex的反函数。x=ln（y）的图像如图2-8所示。根据1=e0，我们可以得到ln（1）=0。

现在我们知道：

这里要解释一下，指数函数将x映射到y=ex，所以它的反函数肯定是从y=ex到x，也就是说，

ln（ex）=x

也就是说，自然对数是y=ex，x∈ℝ的反函数。然后将x=ln（ex）的两边同时对x求导可以得到

或者