2.2 部分分式展开
在用拉普拉斯变换解微分方程时，最后一步通常是求有理函数s的拉普拉斯逆变换[2]，在之前的例子中，我们用了这样一个公式：
即有理函数
被分解为两个已知逆变换的更简单的函数。这个分解过程被称为部分分式展开。我们将通过一系列例子说明如何做到这一点。
例10 
将其改写为
于是
因此
这样
A=1
类似地，
于是
或者说
B=-1
于是我们有
通过拉普拉斯变换可得
因此
例11 
我们要求它的拉普拉斯逆变换
首先，公式
s2+2s+5=0
的根为
我们称F（s）的分母的根为F（s）的极点，可以把它写作
从拉普拉斯变换表可知
确定σ=-1，ω=2，那么F（s）可以重新写为
用已有的拉普拉斯变换表可得
f（t）=2e-tcos（2t）us（t）+5e-tsin（2t）us（t）
我们可以用MATLAB来验证这个结果：
MATLAB的返回值应为
exp（-t）（2cos（2t）+5sin（2t））
我们需要处理复数，所以现在简单回顾一下复数运算。
题外话 复数回顾
令
c=a+jb
表示一个复数，其中a和b是实数，
。c的共轭复数用c*表示，定义为
c*≜a-jb
注意
（c*）*=（a-jb）*=a+jb=c
c的大小定义为
它也等于c*的大小，即
我们也可以用极坐标的形式表示复数。定义
∠c≜tan-1（b，a）
如图2-1所示，tan-1（b，a）在大多数计算机语言中表示为atan2（b，a），这样便于使c=a+bj的角度在正确的象限内。例如，令c1=-1+j，那么
∠c1=tan-1（1，-1）=atan 2（1，-1）=3π/4=2.3562
相反，如果我们考虑c2=1-j，那么
∠c2=tan-1（-1，1）=atan2（-1，1）=-π/4=-0.7854
我们可以把c写成极坐标形式，即
图2-1 c=a+jb=|c|ej∠c，c*=a-jb=|c|e-j∠c
于是我们得到
也就是
|c*|=|c|
∠c*=-∠c
下面我们证明
：
类似地，
例12 
（续）
我们用F（s）的复共轭极点对部分分式展开重做之前的例子。
那么
并且
因此
同样，
因此β1=1-2.5 j。类似地，
这里需要注意的一点是
永远都是这样。回到部分分式展开，我们已经证明了
结果可以用MATLAB进行检验：
MATLAB的返回值应为
现在我们将β1=1-2.5 j转换为极坐标形式（见图2-2）。
我们有
再次用MATLAB检验我们的答案：
图2-2 将1-2.5j转换为极坐标形式
MATLAB的返回值应为
把β1，
写成极坐标形式：
在例11中我们得到
f（t）=2e-tcos（2t）us（t）+5e-tsin（2t）us（t）
所以结果应该为
2=2|β1|cos（∠β1）=2×2.6932cos（-1.19）
5=-2|β1|sin（∠β1）=-2×2.6932sin（-1.19）
此式成立（用MATLAB来检查）。
例13 多根问题
令
F（s）的部分分式展开为
首先乘s（s+2）2得到
1=A0（s+2）2+A1s（s+2）+A2s
或
1=（A0+A1）s2+（4A0+2A1+A2）s+4A0
s的系数相等，我们可以得到
A0=1/4，A1=-1/4，A2=-1/2
因此
最终可得到[3]
例14 
对于例13的部分分式展开，更简单的方法如下：
通过乘（s+2）2得到
然后设s=-2，可以得到A2=-1/2。于是可以得到
上式可变形为
或者
就像例13的结果一样：A0=1/4，A1=-1/4。
例15 
我们可以用二次方程来解，即
s2+s+1=0
解得
于是F（s）可以写成
然后我们可以用式（2.16）对复共轭极点进行展开。然而，还存在另外一种使用式（2.17）的方法。可以写成[4]：
通过乘以s（s2+s+1）来消除分式，得到
或写成
解得
于是
例16 
（再次）
让我们用“硬核”的方式重做前面式（2.16）的例子。有
于是
并且
同时
为了给出和例15中相同形式的答案，我们必须将β1转换为极坐标形式（见图2-3）。且
此外
图2-3 ∠β1=π/2+π/3
回顾之前我们的定义tan-1（b，a）与计算机语言命令atan2（b，a）相同。最终可得到
结果和式（2.18）中的一样。
2.2.1 非严格正则有理函数
在所有部分分式的例子中我们得到了严格正则有理函数。也就是说，我们有
假设考虑：
其中，F（s）是正则有理函数，因为deg{b（s）}≤deg{a（s）}，但不是严格正则有理函数，因为deg{b（s）}=deg{a（s）}。为了使部分分式展开法有效，我们必须先将分子除以分母，如下所示：
在MATLAB中我们可以编写程序：
它的返回值应该为
例17 
另一个例子是令
，它不是正则有理函数。我们首先用长除法将s2+5s+4除以s3，可得
这样
接下来，我们对
做部分分式展开，得到
最后得到
在MATLAB中我们可以编写程序：
它的返回值应该为
注意 在我们把拉普拉斯变换应用到物理系统中时，F（s）往往是严格正则有理函数。