1.4.3　实对称矩阵的对角化

由1.4.2节知，n阶矩阵未必都可对角化。下面我们将看到，实对称矩阵必可对角化，因为其特征值与特征向量有许多特殊的性质，具体参见文献[6]。

定理1-25　n阶实对称矩阵的特征值都是实数。

这是实对称矩阵的一个重要性质，这里不予证明。

定理1-26　实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交。

证明：设是的两个不同的特征值，是其对应的特征向量，则有

因此，又因为，故，即与正交。

由定理1-26知，这样的特征向量构成的向量组不仅正交，而且线性无关。

有了上述两个定理及施密特正交化方法，可以证得下面关于实对称矩阵对角化的重要结论。

定理1-27　实对称矩阵必可对角化，且对任意n阶实对称矩阵，都存在n阶正交矩阵，使得为对角矩阵。

证明从略。

推论1-14　实对称矩阵的每个重特征值恰有个线性无关的特征向量。

当n阶实对称矩阵有n个特征值互异时，由定理1-27知，对应的特征向量必正交，只要将每个向量单位化，即得n个彼此正交的单位向量，由于单位化不会影响正交性及特征向量的属性，因此由它们拼成的矩阵为正交矩阵，且仍为相似变换矩阵，称为正交变换矩阵，即满足；当n阶实对称矩阵有m个互不相同的特征值时，其重数分别为，则有，那么的重特征值必有个线性无关的特征向量。通过对该重根对应的个线性无关的特征向量进行施密特正交单位化，由可得n个彼此正交的单位向量，由它们拼成的正交矩阵即正交变换矩阵。

这样，实对称矩阵不仅可以对角化且必可正交对角化，即存在正交矩阵及对角矩阵，使。

例1-46　求一个正交矩阵>，使得实对称矩阵可相似变换到对角矩阵。

解：的特征多项式为

令，得的特征值为。

对，解方程组，

得基础解系，正交化，得

再单位化，得。

对，解方程组，由于

得基础解系，单位化，得。

令，则为正交矩阵，且。

例1-47　设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为。

（1）求对应于特征值1的特征向量；

（2）求。

解：（1）设对应于特征值1的特征向量为，因为为实对称矩阵，所以与正交，即，解之得基础解系，即，，故对应于特征值的所有特征向量为不全为0）。

（2）因为A为实对称矩阵，必可对角化。

只要令，则，且