1.6 习题参考答案
习题1.1参考答案 （伴随矩阵的性质）
1）矩阵Ad（w）的特征多项式计算起来相对简单，如下式所示：
由此可得其特征值为{0，||w||i，-||w||i}。最后可得：
因此，与0对应的特征向量为w。矩阵Ad（w）是与一个绕w的旋转坐标系的速度向量场相关的。因为轴w不会移动，所以Ad（w）·w=0。
2）①证明x⊥（w∧x）。为此，完全可以证明xTAd（w）x=0，由此可得x⊥Ad（w）x，则有：
②因为：
可得w⊥（w∧x）。
③很容易证明：
为此，需要对上述两个表达式进行转化并证明其相等。该行列式的正性表明该三面体（w，x，w∧x）是正三面体。
3）由w、x和w∧x形成的平行六面体体积为：
然而，由于w∧x正交于w和x，因此该平行六面体的体积便等于其底面积A乘以高h=||w∧x||，即
令v的上述两个表达式相等，可得A=||w∧x||。
习题1.2参考答案 （雅可比恒等式）
1）已知：
因此，对所有c而言，都有：
即
2）将上式简写为：
3）已知：
因此，
对应于一个跟随斜对称矩阵[A，B]=AB-BA无限小的旋转。
综上，如果在一个空间探测器中，只能用惯性盘产生两个跟随A和B的旋转运动，便可生成一个跟随[A，B]的旋转，该无穷小旋转关于B，A，-B，-A，B，A，-B，-A，…交替进行。
4）验证烦琐，在此不做说明。值得注意的是，通过这个结果能够推导出具有加法、括号和标准外积的斜对称矩阵的集合也是一个李代数。
习题1.3参考答案 （范力农公式）
该刚体上的一点x的位置满足状态方程：
式中，w平行于旋转轴Δ，||w||为该实体的旋转速度（单位rad.s-1），通过对该状态方程求积分可得：
也可利用在习题1.4中所学的罗德里格斯公式得到该公式。该项性质可以用如下事实解释，即Ad（w）表示一个旋转运动，然而它的导数却表示了该运动的结果（即一个旋转）。
习题1.4参考答案 （罗德里格斯公式）
1）完全可以证明：
2）该状态方程的解为：
3）在t时刻，该实体已经旋转了||w||·t的角度，那么当t=1时，它便旋转了角度||w||。因此，绕轴w且角度为||w||的旋转R可由下式给出：
4）A的特征多项式为
，特征值为0，i||w||，-i||w||。特征值0所对应的特征向量与w共线，由于在旋转轴上点的速度为0，故而这是合乎逻辑的。
5）可以通过特征值对应定理得到R的特征值，因此等价于0，i||w||，-i||w||。
6）一个绕向量w=（1，0，0）且角度α的旋转表达式为：
7）罗德里格斯公式表明绕向量w角度为φ=||w||的旋转矩阵可由下式表示：
习题1.5参考答案 （罗德里格斯公式的几何逼近）
1）已知：
因此，罗德里格斯公式为：
2）已知：
因此：
故而，罗德里格斯公式也可写为：
可以通过如下式所示的旋转矩阵去表示算子Rn，φ：
或用其改进形式：
3）已知：
向量Rn，φ·u和
形成了菱形（罗德里格斯菱形）的两边，其向量：
对应于菱形的对角线。
4）该轨迹形式为R（t）=exp（tA）·Ra，且必须要找出一个斜对称的A（使exp（tA）是一个旋转矩阵），对于t=0，有R（0）=Ra，对于t=1，有R（1）=Rb。因此，必须要解出exp（A）·Ra或
，其中A是斜对称的。可写为
，但矩阵的对数不是唯一的。在该练习题中，假定所有矩阵均为3×3维的。为找出两个旋转矩阵Ra，Rb之间的插值轨迹矩阵，我们取前一个问题的结果并执行以下操作：
进而可得R（t）=exp（tA）·Ra。在此可清晰地看出，找到一个矩阵A使得
的解不唯一。例如，本可采用A=（φ+2kπ）n∧，k≠0，但此时从Ra到Rb必须绕几个弯才行。
5）回顾正弦和余弦公式的麦克劳林级数展开为：
令H=Ad（n），由于n为矩阵H的一个对应于特征值0的特征向量，则有H（n·nT）=0。此外：
因此：
那么，可将罗德里格斯公式写为：
即
习题1.6参考答案 （四元数）
1）可得：
注意，乘法是不可交换的。
2）可得：
3）因两四元数
和
对应于相同旋转，则：
4）可得：
5）①由于旋转很简单，第一种方法是直接通过手动移动一个简单的对象来得到结果。可获得一个相对于（0，1，0），角度为
的旋转。
②关联与
建立旋转欧拉矩阵R。可得：
然后取R的一个与特征值λ=1相关联的归一化特征向量v=（0，1，0）T，旋转R可以通过一个绕v的角度为α的旋转得到，可利用式（1.9）计算角度α：
式中，所选符号满足eα·v∧=R，可得
。
③在此，利用四元数法可得：
运用所有方法，可得一个绕v=（0，1，0）角度为的旋转。
习题1.7参考答案 （舒勒振荡）
1）状态向量为
，为了实现水平运动，则需一个水平力f，根据动力学基本定理，可得：
式中，
且f=2ma。由于
，则该系统的状态方程可写为：
2）如果钟摆保持水平，则对于α=0，便有
。即：
或将其等价为：
因此，必须使其满足方程
。求解该方程可得：
当
1=1时，可得：
3）描述该振荡的方程为：
当a=0时，可得：
该式为一个长=r的钟摆方程。通过对其线性化可得其特征多项式为
，因此脉冲为
。故而，该舒勒周期等于：
4）程序如下：
值得注意的是，对于初值
而言，该钟摆总是指向地球中心，否则，它便振荡并将该振荡保持在舒勒频率上。可以用现代惯性单元观测该振荡，并有利用其他惯性传感器获取的信息对其进行补偿的方法。
习题1.8参考答案 （制动检测器）
1）已知：
将其表示在坐标系R0内为：
整理为：
2）证明：
3）在坐标系R0内，可将向量u表示为：
因此：
4）已知：
因此：
然而：
可得：
5）如果满足下述条件，则表示前车正在制动：
即满足条件：
习题1.9参考答案 （水下机器人建模）
该位置向量的导数可由下式得到：
式中，i1对应矩阵（1.9）的第一列。结合方程（1.12），可将潜艇的状态方程写为：
此时，便得到了一个运动学模型（即其中没有力或力矩），其中并没有参数，因此如果该水下机器人很结实（即不能被扭曲）且其轨迹与机器人轴线相切，便可认为该模型是正确的。这样的模型将用到非线性控制方法如将在第2章提及的反馈线性化。虽然这类方法对于一个很小模型误差的鲁棒性确实很差，但对系统精确模型已知的情况下却非常有效。
习题1.10参考答案 （三维机器人图形）
1）略
2）为绘制在状态x=（px，py，pz，v，φ，θ，ψ）下的机器人图像，构建模式矩阵：
并计算转换后的模式矩阵（待绘制）：
绘制三维图形的MATLAB程序如下：
3）采用图1.19所示的欧拉积分法对初始向量x（0）=（-5，-5，12，15，0，1，0）T和控制变量u=（0，0，0.2）T进行仿真。该仿真模拟将在习题2.4中进行，以执行机器人轨迹的控制。
图1.19 水下机器人的仿真（有关此图的彩色版本，见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
习题1.11参考答案 （机械手）
绘制机械手时必须一个接一个进行，为此，必须建立基于向量v的平移和绕w角度||w||的旋转。由如下两个矩阵表示：
在该题中，需要沿z轴平移长度r，沿x轴平移长度d，围绕y轴旋转α，旋转θ。它们分别由4×4矩阵给出：
在坐标系q（其组成部分为关节坐标）中的机器人的七个手臂可以绘制如下：
每个手臂均是用两个齐次矩阵
，j
{1，2，…，7}对绘制的。图1.20对应于具有以下参数向量的机器人的仿真模拟：
习题1.12参考答案 （浮轮）
1）考虑欧拉旋转方程：
式中，扭矩τr=0且浮轮没有加速度。由式（1.12）可得：
图1.20 机械手仿真模拟
2）对于仿真模拟，取：
其结果如图1.21所示，轮子相对于px平移，可从px阴影（黑色）中看到旋转轴振荡，这便对应于该进动。
3）已知：
，因此：
图1.21 无转矩进动车轮的运动（有关此图的彩色版本请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
此外：
4）使用SYMPY库编写以下Python代码：
x0点处的矩阵J如图1.22所示。
可通过图1.23中的图示来理解带零的黄色块，弧表示差动延迟，例如，节点vr和p之间的弧意味着
在代数上依赖于vr。
图1.22 x0点处演化函数的雅可比矩阵（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
图1.23 浮轮差动延迟图（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
矩阵J是分块三角形的，可以很容易地计算出特征多项式，由下式给出：
当不存在进动时，项
与事实情况一致，轮子以||wr||脉冲绕wr旋转，
和
对应于该进动。
如果轮子不是完全实心的，内部摩擦会减弱进动，旋转轴将与I的一个特征向量对齐，该向量可以是车轮平面的一个向量，也可以是车轮的轴（与车轮平面正交）。
习题1.13参考答案 （惯性系中的舒勒振荡）
1）因为地球静止不转动，则有：
2）R2的所有欧拉角都是常数（对于R1）并且等于零，且不再作为状态变量出现。欧拉矩阵R（φ，θ，ψ）为常数。R2的状态方程变为：
可以将其写为：
3）所得到的轨迹如图1.24所示。从图中观察到一些振荡，称为舒勒振荡。
4）z=0，x=r，可得：
特征值为
，由于在0中有两个根，所以这个系统存在一些振荡，是不稳定的。
5）实际上，惯性单元没有完全初始化，因此便可找到一条与R2相似的轨迹，而对于R1而言是固定的。由于误差很小，线性近似是很现实的。如图1.25所示，惯性单元内部的积分方法返回一些不需要的振荡，对应于一个不是实际的解。这些振荡对应于一个为
的舒勒周期。对于许多应用（例如在飞机上），大家知道这样的振荡是虚拟的，可以通过改进积分的方法来抑制这些舒勒振荡。
图1.24 轨迹涂成蓝色的机器人R2和固定在o1中的机器人R1的转速和加速度相同
习题1.14参考答案 （控制用李氏括号）
1）可得：
2）在不丧失一般性的情况下，对t=0给出其证明，并将使用以下符号：
图1.25 惯性装置返回的假周期轨迹，感觉和R1一样是静止的。相应的测量加速度
涂成红色。b）图对应于R1的放大（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
对于给定的t和一个小的δ，有：
其中：
因此：
可得：
相加可得：
此时：
因此，
同理可得：
这个结果可以通过重写δ→-δ，f→-g，g→-f，A0→-B0，B0→-A0直接从式（1.19）中获得，因此：
其结果是，使用周期序列，便可以沿着[f，g]方向移动。
3）已经证明，在4δ的时间周期内，我们向[f，g]方向移动了[f，g]δ2。这意味着我们遵循
这个无穷小的场。将循环序列乘以标量αR等于用α乘以f，g。那么，不得不用
乘以这个序列。如果º为负，则必须改变序列的方向。因此，循环序列为：
式中，ε=sign（v）更改序列的方向（ε=1为顺时针方向，ε=-1为逆时针方向）。
4）如果想要跟踪a1f+a2g+a3[f，g]，则须按该序列：
式中，
，且ε=sign（v）。
5）如果令x=（x，y，θ），则有：
可得：
此时便可横向移动汽车了。
6）如果把循环序列作为控制器，可得：
针对a=（0.1，0，0），a=（0，0，0.1），a=（-0.1，0，0），a=（0，0，-0.1）做了四个仿真模拟。取初始向量x（0）=（0，0，1），t[0，10]，dt=0.01，便可得到图1.26所示的结果。经过观察，在每次模拟之后，到原点的距离大约为0.1×10=1。这与f（x）和[f，g]的范数等于1的事实一致。在此，并未给出a=（0，±0.1，0）的仿真，因为没有位移：汽车自己旋转。
7）可得：
取
可得
，式中
。
图1.26 a）基于李氏括号技术的控制器仿真，框架为[-1，1]×[-1，1]。b）相同的图片，但框架为[-0.2，0.2]×[-0.2，0.2]。为了避免图片中的重叠，这辆车的尺寸缩小了1/1000。前后亚通道的长度约为10cm（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
对于序列所需的方向：
=(1,0,0),=(−1,0,0),=(0,−1,0),=(0,1,0)。可得图1.27所示的结果。
图1.27 a）汽车从0向所有主要方向行驶。框架为[-1，1]×[-1，1]。b）相同的图片，但框架为[-0.2，0.2]×[-0.2，0.2]（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
习题1.15参考答案 （跟踪赤道）
1）从一帧到另一帧的旋转矩阵为Rij=RiTRj，可得：
2）式（1.13）所示的运动学方程为：
在仿真模拟中（见图1.28），可观察到轨道对应于一个椭圆，这与卫星的行为是一致的。物体的旋转是由初始条件引起的。
图1.28 该机器人像卫星一样绕着地球转（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）
3）动态模型由运动学模型组成，可在其中添加以下状态方程以生成输入a3，w3（见图1.29）：
这个动态（左）块在状态变量中有w3。
在此来解释第一个等式：
由该摩擦项可得，机器人将停止相对于水的旋转，从而收敛到地球的旋转方程上。对于这个摩擦力，应该加上来自方向舵或螺旋桨的旋转。
第二个方程由三项组成：
①由于摩擦而产生加速度。作为第一近似，可以假设加速度与机器人和流体之间的速度差成正比。由于流体的速度为vf=wE∧p，可得摩擦力所引起的加速度，在R3坐标系下近似为
。
②流体在p处的加速度为：
如果机器人相对于流体是静止的，并且具有与流体相同的密度，那么它将具有阿基米德力产生的加速度
。现在，由于重力，将测量R3坐标系下加速度
。
③由螺旋桨产生的加速度ua3表示在机器人坐标系R3。
图1.29 动力学模型
4）为了控制机器人的方向，考虑了一种位姿场方法，即在每个点p上关联一个机器人试图满足的姿态（用旋转矩阵R4表示）。例如，如果我们想沿着赤道从西到东，则可选择一个位姿场：
然后，为使R3近似于R4（p）的控制选择旋转向量，可得（见式（1.6））：
其中，
，
。相应仿真如图1.30所示。
图1.30 机器人沿着赤道向东行驶（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）