第二节　摩擦角和自锁现象

一、摩擦角的概念

重物静止在粗糙水平面上时,接触面对物体的约束反力包括两个分量,即法向反力FN和静摩擦力F。其合力FR=FN+F称为接触面的全约束反力。它的作用线与接触面的公法线成一偏角φ,如图4-3(a)所示。当物体处于临界平衡状态时,静摩擦力达到最大值Fmax,偏角φ也达到最大值φm。全约束反力与法线夹角的最大值φm称为摩擦角。于是有下面的关系

即摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见,摩擦角和摩擦因数一样都是表示材料表面性质的物理量。

当物体的运动趋势方向改变时,对应于每一个方向都有一个全约束反力的极限位置,这些全约束反力的作用线组成一个锥面,称为摩擦锥。如果各个方向的摩擦因数都相同,这个锥面就是一个顶角为2φm的圆锥面,如图4-3(b)所示。

二、自锁现象

物块平衡时,静摩擦力在零到最大值Fmax之间,而此时全约束反力和法线间的夹角φ也在零和摩擦角φm之间,即

由于静摩擦力不可能超过最大值,因此全约束反力作用线必定在摩擦角范围内,这是由摩擦的性质决定的。可见:

(1)若作用于物块上的主动力的合力R的作用线在摩擦角范围内,则无论这个力多大,物块总能保持静止。这种现象称为自锁。因为此时主动力的合力R和全约束反力FR必能满足二力平衡条件,如图4-4(a)所示。

(2)若作用于物块的主动力的合力R的作用线在摩擦角范围外,则无论这个力多小,物块一定会滑动起来。因为此时接触面的全约束反力FR和主动力的合力R不能满足二力平衡条件,如图4-4(b)所示。

在工程实际中,常常要利用或避免自锁现象,如千斤顶、夹具和螺钉等,只有自锁才能保证不松脱、转动;而在传动装置中,则不应发生自锁,如螺纹丝杠传动时,设计时就应保证不自锁。

图4-5所示,螺纹和斜面的自锁条件为α≤φm。请读者自行讨论。

三、考虑摩擦的平衡问题

考虑摩擦的平衡问题的解法和不考虑摩擦时基本相同,只是在分析物体受力情况时,必须画上摩擦力。由于摩擦力不同于一般的约束反力,有其自身的特点,即物体平衡时F≤Fmax;在平衡的临界状态下,F=Fmax。并且摩擦力的方向与运动趋势方向相反,在运动趋势已知时,摩擦力方向属已知条件,不能假定;在运动趋势方向未知时,应首先假设运动趋势方向。由于有摩擦力,增加了未知力的个数,在求解时除平衡方程外还需增加补充方程F≤Fmax=fFN,补充方程的数目与摩擦力的数目相同。而且由于有不等式方程,解方程的结果亦是一个范围,而不是一个确定的值。

有时工程中的问题只需要分析平衡的临界状态,此时静摩擦力等于最大静摩擦力,补充方程只取等号。有时在分析平衡范围等问题时,为了计算方便,避开解不等式方程,也先求临界平衡状态下的结果,再分析、讨论解的平衡范围。

有摩擦的平衡问题一般可分为以下几种类型。

(1)已知作用在物体上的主动力,判断物体是否处于平衡状态,确定摩擦力的大小和方向。

(2)分析平衡的临界状态。

(3)求解物体的平衡范围。

下面举例说明各解法特点。

【例4-1】　物体重为P,放在倾角为θ的斜面上,它与斜面间的摩擦因数为f,如图4-6(a)所示。当物体处于平衡时,试求水平力F1的大小。

解:由经验易知,力F1太大,物块将上滑;力F1太小,物块将下滑,因此F1应在最大与最小值之间。

先求力F1的最大值。当力F1达到此值时,物体处于将要向上滑动的临界状态。在此情形下,摩擦力F沿斜面向下,并达到最大值Fmax。物体共受四个力作用:已知力P,未知力F1,FN,Fmax,如图4-6(a)所示。列平衡方程

此外,还有一个补充方程,即

三式联立,可解得水平推力F1的最大值为

现再求F1的最小值。当力F1达到此值时,物体处于将要向下滑动的临界状态。在此情形下,摩擦力沿斜面向上,并达到另一最大值,用表示此力,物体的受力情况如图4-6(b)所示。列平衡方程

此外,再列出补充方程

三式联立,可解得水平推力F1的最小值为

综合上述两个结果可知:为使物块静止,力F1必须满足如下条件

此题如不计摩擦(f=0),平衡时应有F1=Ptanθ,其解答是唯一的。

本题也可以利用摩擦角的概念,使用全约束力来进行求解。当物块有向上滑动趋势且达临界状态时,全约束力FR与法线夹角为摩擦角φm物块受力如图4-7(a)所示。这是平面汇交力系,平衡方程如下

同样,当物块有向下滑动趋势且达临界状态时,受力如图4-7(b)所示,平衡方程为

由以上计算知,使物块平衡的力F1应满足

这一结果与用解析法计算的结果是相同的。对图4-7所示的两个平面汇交力系也可以不列平衡方程,只需用几何法画出封闭的力三角形就可以直接求出F1max与F1min。

在此例题中,如斜面的倾角小于摩擦角,即θ<φm时,水平推力F1min为负值。这说明,此时物块不需要力F1的支持就能静止于斜面上;而且无论重力P值多大,物块也不会下滑,这就是自锁现象。

应该强调指出,在临界状态下求解有摩擦的平衡问题时,必须根据相对滑动的趋势,正确判定摩擦力的方向。这是因为解题中引用了补充方程Fmax=fFN,由于f为正值,Fmax与FN必须有相同的符号。法向约束力FN的方向总是确定的,FN值恒为正,因而Fmax也应为正值,即摩擦力Fmax的方向不能假定,必须按真实方向给出。

【例4-2】　凸轮机构如图4-8(a)所示,已知推杆与滑道之间的摩擦因数为f,滑道宽度为b,凸轮与推杆之间的摩擦忽略不计。求a的尺寸多大时,推杆才不致被卡住。

解:取推杆为研究对象。其上作用的力为FN、FNA、FNB、FA、FB。假设推杆处于即将运动的临界状态,这时摩擦力达到最大值。由于推杆有向上滑动的趋势,则摩擦力FA和FB的方向向下。受力如图4-8(b)所示。列平衡方程

此外,列补充方程

联立以上五个式子,解得

要保证机构不发生自锁现象(即不被卡住),必须使

本题也可用图解法求解。分别将FNA、FA和FNB、FB合成为全约束反力RA和RB,则推杆在RA、RB、FN三力作用下处于平衡。把RA、RB的作用线延长交于C点,则三力交于C点时为三力平衡的临界状态。根据全反力的性质和三力平衡汇交定理可知,只有三力交于C点或C点以右部分时,无论FN力多大,三力必定平衡,这时推杆必然处于平衡状态,如图4-8(c)所示。如FN通过C点的左边,则无论FN力多小,三力也不能汇交,这时推杆必将滑动。由此,关于临界点C距推杆轴线的距离a',有

推杆不致卡住的条件是

【例4-3】　在用铰链O固定的木板AO和BO间放一重W的均质圆柱,并用大小均为P的两水平拉力P1和P2保持系统平衡,如图4-9(a)所示。设圆柱与木板间的静摩擦因数为f,不计板重,求平衡时施加的力P。

解:(1)设圆柱体处于即将下滑的临界平衡状态。此时力P为维持系统平衡的最小值。以圆柱为研究对象,受力如图4-9(b)所示,列平衡方程

补充方程

解得

再取板OA为研究对象,受力如图4-9(c)所示。此时的水平力P1=Pmin。列平衡方程

解得

(2)设圆柱体处于即将上滑的临界平衡状态。此时力P为维护系统平衡的最大值。我们只改变前面图中摩擦力的指向,列平衡方程即可求得(读者自己列出平衡方程)

于是得到平衡时P的范围

如果用摩擦角φm表示,则有

可以看到,当φm→α时,Pmax→∞。这就是说,φm≥α时,无论P多大,圆柱不会向上滑动而产生自锁现象。

【例4-4】　制动装置如图4-10(a)所示,已知鼓轮与制动块之间的摩擦因数为f,作用在鼓轮上的主动力矩为M,其他尺寸如图所示。求制动鼓轮所需的最小力P。

解:首先取鼓轮为研究对象。受力如图4-10(b)所示。因为鼓轮处于平衡状态,所以

根据题意,此时摩擦力应为最大值,即

其次取手柄与制动块为研究对象,受力如图4-10(c)所示。列平衡方程

从上式可以看出,设计这种制动器时,应尽可能使b小些,而R,a和f则应大些,以使P尽可能地小。

本题图中鼓轮上主动力矩方向为顺时针方向。如果为逆时针方向,结果又如何,对设计参数又有何要求,请读者自行分析。

在工程实际中,常会由于摩擦阻力的存在引起物体翻转,现在我们讨论一下翻转的受力条件,如图4-11所示。

当物体放在水平粗糙面上,没有水平推力Q作用时,接触面上摩擦力为零。同时接触面上法向反力FN与P共线,如图4-11(a)所示。实际上法向反力分布在接触面上,而FN为其合力。

当水平力Q作用在物块上而物块仍保持平衡时,接触面上有摩擦力F作用,同时法向反力FN作用线从接触面中点向一侧偏移,如图4-11(b)所示。偏移的距离随Q增加而增加,以保证力矩平衡。

设力Q的值逐渐增加,则F的大小和FN的偏移距离均随之同时增加。但是这两个值都有一个极限:当F达到Fmax时,物体即将滑动;当FN的作用线移到接触面的边上时,物体将会翻转。一般情况下,这两个极限不会同时达到。图4-11(c)表示发生滑动的情况,而图4-11(d)则表明物体先翻转时的受力条件。

下面通过一个例题来讨论物体先发生滑动还是先发生翻转的条件。

【例4-5】　重W的方块放在水平面上,并受一水平力P的作用。设方块底面长度为b,P与底面的距离为a,接触面间的摩擦因数为f,问当P逐渐增大时,方块先行滑动还是先行翻倒?

解:解这一类不定问题时,可以先假定一种情况,然后将所得结果与极限值进行比较。

现在假定方块先翻倒。翻倒时的受力情况如图4-12所示。从三个平衡方程得出

接触面间可能产生的最大静摩擦力为

比较F与Fmax,可以看出:

(1)当即时,则假定成立,即方块先翻倒。

(2)当即时,则假定不成立,方块先滑动。

(3)当即时,则滑动和翻转同时发生。