无穷多状态动力学系统

到目前为止，我们给出的例子的状态空间都只有有限多个状态。我们有理由提出一个具有无穷多个状态的动力学系统。例如，想象在一条直线上有无穷多个离散点——就像一个在往返方向上有无穷多个车站的铁道。假设某种记号笔可以根据某种规则从一个点跳到另一个点。为了描述这个系统，我们可以像之前给离散的时间步标记一样，用整数给直线上这些点标记。因为我们已经用了符号n表示离散的时间步，这里我们用大写的N代表直线上的点。标志物的历史由函数N（n）构成，告诉你在每个时间步n它所处直线N上的位置。图1-11展示了这个状态空间的一部分。

图1-11　某无穷多状态系统的状态空间

如图1-12所示，这个系统的一个非常简单的动力学定律是：每隔一个时间步将标记物沿着正方向移动一个单位。

图1-12　某无穷多状态系统的动力学规则

这个规则是合理的，因为每个状态对应一个指入的箭头和一个指出的箭头。我们可以方便地用一个方程式描述这个规则：

下面是其他一些可能的规则，但并不是全都合理。

在公式（1）中，无论你从哪里出发，最终都会向前或向后到达另一个点。我们称它为单无限循环。然而对于公式（3），如果你从N的奇数值出发，那么你永远不会到达偶数值，反之亦然。因此我们称它为双无限循环。

如图1-13所示，我们还可以给系统增加性质不同的状态来创造更多的循环。

图1-13　将一个无限状态空间分解为有限循环和无限循环

一方面，如果我们从一个数值出发，那么我们会沿着直线向正方向前进。另一方面，如果我们从状态A或B开始，那么我们就会在它们之间循环。因此，我们可以得到混合形态的状态空间，我们在一些状态空间中循环，或者在另一些状态空间中向无穷远移动。