2．7　有限厚弹性体中表面波的特性

在利用弹性板进行混凝土结构无损检测时，测试对象有很多是板形结构（如楼板）。相对弹性波的波长而言，该类结构厚度有限，当结构厚度接近R波的波长时，会使R波产生频散性，此时，R波的相位速度不仅与材料力学特性有关，而且受到波长的影响。当板的两面自由时，就是2．4节中所阐述的朗姆波。

当结构具有层状构造时（如基础板、隧道衬砌等），在其中传播的表面波也具有相似的频散特性。层状结构见图2－32。

2．7．1　层状弹性体中弹性波的特征方程

在两层弹性体的交界面上，应力和变形保持连续，也就是说，σz、τxz、u和w在交界面上保持连续。也就是说，只要确定了一个面上的σz、τxz、u和w，另一个面上的这4个参数也自然而然地确定了。为此，需要通过层厚、材料的力学参数以及波的相关参数的4 ×4行列式来确定。

在此，基于著名的N．A．Haskel方法来推导多层弹性体内表面波的特征方程。式（2－99）～式（2－103）可以改写如下：

其中：

Haskel用无量纲量（c为相位速度）来代替u和w。同时，将各记号重新整理：

而且

Δ′，Δ″，ω′，ω″等实际上为div（u，w）和rot（u，w）中的各项系数，有：

多层构造及相关参数见图2－33，第n层上边界的坐标为zn，若以zn为原点则zn＝0，式（2－140）中cos项值为1，sin项值为0。

因此，式（2－137）～式（2－140）中将z＝0代入后，可以改写成：

同样，对式（2－137）～式（2－140）中，令zn＝Hn，公式尽管有些繁杂，但与式（2－143）形式相同。省略层号n，可得：

其中：

Cα＝cos（ζrαH），　Sα＝sin（ζrαH）

Cβ＝cos（ζrβH），　Sβ＝sin（ζrβH）

将式（2－142）右边的4×4行列用Dn表示，并将式（2－141）和式（2－142）合并后可得：

其中，zn＝Hn就是zn＋1＝0的面，所以若令：

则有：

进而，根据式（2－141）和式（2－145），有：

作为边界条件：

第1层：在自由表面（z1＝0）上，有σz＝τxz＝0。

第N层：考虑到zN→∞时的收敛性，根据式（2－137），有Δ″N＝ω″N＝0。

将该2项条件代入式（2－146），并将自由表面的u/t，w/t分别改写成u．0，w．0，可得：

改写成普通显式，有：

从中消去Δ′N和ω′N后：

式（2－149）即为特征方程。

进而，根据式（2－145）和式（2－146）也可以推导出前述的朗姆波的特征方程。在式（2－146）中，若两端面均为自由表面，则：

2．7．2　单一面层内的表面波

在此，对2．7．1小节中的特例，亦即在半无限体有一层表面层（如山体隧道的混凝土衬砌）进行探讨。如面层（混凝土衬砌）参数用下标1表示，山体（半无限体）参数用下标2表示，则根据式（2－144）和式（2－147），有：

式（2－151）的求解一般需要数值解。当然，此时表面波的相位速度受其波长影响。波长越长，相位速度越趋近于半无限体的R波波速，反之，波长越短则越趋近于表层的R波波速。

在地质勘探的物理探查领域中，经常用到“稳态振动”试验方法。此时，给定频率R波的相位速度受到深度为R波半波长处地层的影响最大。

在实际的检测中，需要注意的是：

（1）L波的模态在上下表面均对称，但在实际检测中，对于隧道衬砌这样的结构，诱发完全的L波是较为困难的。

（2）前述的波动，均在定常振动基础上进行演绎。但是，冲击激振诱发的弹性波的初始信号并非定常振动，而是过渡振动。