2 基于小波包分解和Volterra自适应模型的语音识别
2.1 语音时间序列相空间重构
混沌时间序列的分析、确定和预测在相空间中进行，因此语音时间序列的相空间重构是分析混沌特性的第一步[3-4]，根据Takens定理，延迟坐标嵌入方法表示如下：
式中，M是相空间中的点数，M =L-(m-1)τ；L是时间序列的结束；τ是延迟时间；m是嵌入维数。
2.2 小波包变换
小波包变换是传统小波变换的扩展。小波变换只能进一步分解信号的低频部分，无法解决高频部分的要求[5]。小波包变换可以分解低频信号和高频信号，这意味着小波包分解可提供比小波分解更准确的频率分辨率。
根据小波的多分辨率分析，缩放函数φ(t)与小波函数ϕ(t)之间的关系是相互的。二维方程定义如下：
式中，h(k)和g(k)是一对共轭正交镜滤波器，g (k )=(-1)k h(1-k )。信号通过小波包法被分解为低频信号和高频信号，小波包分解算法如下：
式中，p 是节点号； j是分解级别。在第j-th级分解系数的基础上，通过式（3）和式（4）中的小波包系数递推公式得到第( j+1)-th级分解系数。类似地，所有级别系数都可以通过式（3）和式（4）获得。以上第j-th级所有子带的频率范围为
其中fs是采样频率。
近似小波包分解仍然是更原始的信号频谱信息。图1是语音信号“blue sky”三重db4小波包分解系数的重构子带信号。在“y”是原始语音信号的情况下，“y1～y8”是小波包系数的八个子带。
图1 语音信号“blue sky”，三重db4小波包分解系数图
Fig.1 Speech signal"blue sky", triple db4 wavelet packet decomposition coefficient diagram
2.3 Volterra自适应模型的提取特征
Volterra 函数序列通常可以描述响应和记忆函数的非线性行为，它可以以任意精度逼近任意连续函数。对于非线性系统，基于Volterra的自适应预测滤波方法可以反馈滤波器参数的迭代调整，从而实现最优滤波器[6-10]。Volterra系列的表现形式如下：
非线性动态系统输入表示为X (n)=[x(n), x(n-1),…, x(n-N+1)] ，输出表示为Y ( n )=x ( n+1)。Volterra 膨胀的非线性动力系统表示如下：
式中， h1 , h2 ,…, h p是Volterra系列的核函数，它是系统的隐函数，反映了语音信号的宏观；p是滤波器长度。根据语音时间序列的特点，为了减少计算量，通常选择二阶Volterra自适应预测模型来截断，表达式如下：
通过Volterra系列扩展的混沌时间序列，该案例是m项二阶Volterra滤波器截止（ m是混沌时间序列的最小嵌入维数）。通过状态扩展，系统总数为M =1+m+m(m-1)/2 ，滤波器系数向量和输入向量分别如下：
由于 Volterra 自适应滤波器系数可以通过线性自适应FIR 滤波器算法直接确定，因此式（7）可以表示为：
本文采用LMS自适应算法，它具有良好的稳定性和简单的结构，并且易于实施，它广泛用于自适应控制和信号处理领域。自适应滤波算法由以下两个过程组成：
（1）滤波过程：计算滤波器输出对输入的响应，并比较实际输出和所需输出，以获得估计误差。
（2）适应过程：根据滤波过程得到的估计误差调整滤波器参数。
上述两个过程形成具有反馈的环结构。首先，使用横向滤波器完成单输入滤波处理。然后，通过自适应控制算法更新和调整横向滤波器抽头权重。
抽头输入向量U (n)为x(n), x(n-1),…, x(n-m+1) ，抽头权重向量 ω(n) 为0ω(n), 1ω(n),…ωm-1 (n)。使用LMS自适应算法计算权重向量，该值表示估计值。主过滤器结构如图2所示。
图2 自适应滤波器控制算法的框图
Fig.2 Block diagram of the adaptive filter control algorithm
预期响应d (n)和抽头输入向量U (n)在滤波过程中同时进行。在上述过程中，实际输出由具有给定输入的滤波器产生；实际输出y(n)显示为：
确定估计误差e(n)为预期响应d (n)与实际输出y(n)之差，即
LMS自适应滤波过程使用最小准则的均方值来调整权重向量，表达式如下：
LMS自适应算法的权重调整过程如下：
（1）使用给定的输入U (n)得到滤波器的输出如下：
（2）计算预期响应d (n)和实际输出y(n)得到估计误差e(n)为：
（3）计算绩效指标的功能如下：
（4）根据性能指标函数、估计误差，自适应调整抽头权重向量如下：
式中，μ是正常数的收敛因子，它用于调整自适应迭代步骤。参数μ决定收敛速度，大步长会使算法变得不稳定；如果μ太小，则会带来额外的错误。
语音信号“blue sky”由3级和6级小波包分解，所有子带信号分别用于 AR 模型和Volterra模型实验。这里我们从3级小波包中选择一个子带信号，两种比较方法的预测结果如图3和图4所示。我们从6级小波包中选择一个子带信号进行预测，两种比较方法的结果显示在图5和图6中（为了清楚地显示，这些图仅显示70个预测值）。
图3 具有3级小波包分解的混沌语音信号的Volterra自适应预测和线性预测
Fig.3 Volterra adaptive prediction and linear prediction of chaotic speech signals with 3-level wavelet packet decomposition
图4 具有3级小波包分解的混沌语音信号的Volterra自适应预测和线性预测误差
Fig.4 Volterra adaptive prediction and linear prediction error of chaotic speech signals with 3-level wavelet packet decomposition
图5 具有6级小波包分解的混沌语音信号的Volterra自适应预测和线性预测
Fig.5 Volterra adaptive prediction and linear prediction of chaotic speech signals with 6-order wavelet packet decomposition
具有3级小波包的Volterra自适应预测误差为0.102，AR模型预测为0.2144。具有6级小波包的Volterra自适应预测误差为0.0612， AR模型预测误差为0.1744。使用传统线性预测方法实现差异预测值的对比效果比前者差。这些结果表明使用语音信号预测模型的非线性系统效果更好。
图6 具有6级小波包分解的混沌语音信号的Volterra自适应预测和线性预测误差
Fig.6 Volterra adaptive prediction and linear prediction error of chaotic speech signals with 6-order wavelet packet decomposition