2.3　幂函数势阱

上面已经提到，外势阱能够影响冷原子气体的热力学性质和量子统计行为。因此，对外势阱中的玻色气体产生BEC相变的条件和费米气体低温行为的研究将能够引导人们更好地操控和利用量子气体。外势阱的种类有很多，除了上面提到的简谐势阱，幂函数势阱也是人们研究得比较多的形式。目前，人们已经在幂函数势阱中得到了许多有意义的结果[18，23，36，37]。

SCA因其简洁和高效性被广泛应用于研究量子气体在势阱中的热力学行为。本节将继续采用SCA方法研究幂函数势阱中的理想玻色和费米气体，以加深人们对幂函数势阱中的量子气体的热力学性质的理解。

本节的相关内容已在《低温物理学报》发表。

2.3.1　热力学量基本方程

幂函数势阱的一般形式可以表示为

式中，、和为正常数，和为粒子的能量和坐标。

在SCA的条件下，占据相空间的粒子数目为，粒子动量大小为。态密度的定义为能量到区间内的量子态数目。此时系统的态密度将由下式给出

经过一系列化简后，可以得到

式中，系数，，。

由式（2.28）可以看出，态密度总是以能量的幂函数形式变化。态密度是十分重要的物理量，能否找到恰当、合适的态密度是进行SCA的关键。对量子气体的热力学性质产生影响的各种因素都将影响到态密度，并从态密度的表达式中得以体现[34，38]。

需要特别指出的是，对于三维的各向异性简谐势阱而言，参数，，，此时态密度。对于d维简谐势阱而言，，为谐振子沿谐振轴方向振动的特征频率。若外势为零，则式（2.28）将对应三维空间自由粒子态密度。显然，三维简谐势阱中的态密度与能量的关系曲线呈抛物线型，态密度随着能量趋近于零而迅速地接近零，因此简谐势阱的存在将使得玻色系统比其在自由空间中更容易保持长程有序。

总的粒子数目（玻色子或者费米子的数目）为

式中，为凝聚在基态的玻色子数目（约定对于费米气体取），是处于激发态的粒子数。分布函数，式中，符号中的–和+分别对应玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布。化学势是由粒子数方程决定的一个参数，它通常暗含在各热力学方程中，是研究系统热力学性质的关键物理量。当被给定时，将随温度的降低而升高，当温度到达BEC相变温度附近时，将趋近于基态能量，此后，将不再随温度的降低而发生任何变化。

系统总能和比热分别写为

和

很明显，要想求出系统的总能和比热，必须先给出随温度的变化关系。

紧接着给出系统的粒子数密度和动量空间的粒子分布函数。SCA条件下的激发态粒子数可以取一种不同的（但是等价的）形式，为

此时，热激发粒子数密度和动量空间的热激发粒子分布分别为

2.3.2　理想玻色气体的性质

对于玻色子，处于热激发态的粒子数目为

上述计算中用到了泰勒级数展开。引入玻色-爱因斯坦积分

可得激发态粒子数目为

注意式（2.36）仅在0≤z≤1范围内有效，为伽马函数。

此时，BEC相变温度为

式中，。式（2.38）给出了与势阱强度和幂指数之间的依赖关系。对于理想玻色气体而言，如果有限，则势阱越强越高；如果有限，则势阱越强，实现BEC所需的粒子数越少。

式（2.38）也可以推广到三维空间。令，此时，便成为人们所熟悉的玻色函数[22，39-41]。此时，式（2.38）将变成自由空间中的。若将式（2.38）推广到三维简谐势阱中，只需取。

玻色子的基态占据率为

式（2.39）表明，玻色子的基态占据率随势阱类型的变化发生变化，如图2-8所示。当玻色气体的温度低于时，与在数值上是可以比拟的。当玻色气体处于绝对零度时，全部玻色子都将被冻结到基态。

由粒子数守恒，可以求出化学势，即

此时，

求出化学势后，可以由式（2.30）和式（2.31）求得总能和比热。

热激发玻色子的粒子数密度为

式中，，凝聚玻色子的粒子数密度，基态波函数[42]。

2.3.3　理想费米气体的性质

费米气体的粒子数为

式中，表示费米能，式（2.41）可以通过费米积分解出。定义费米积分为

式中，，低温时。通过索末菲引理将费米积分展开成一个迅速收敛的级数

此时

费米能由下式决定

式中，为时的费米能。

由此得到费米气体的内能为

当时，内能为。

单粒子比热为

显然，外势阱的存在并不会导致费米气体的低温行为的明显变化，只是系数由于外势阱类型的不同发生了定量修正[43，44]。

高温时，，在式（2.44）中仅保留第一项级数可求得化学势和比热的经典极限，即化学势，比热。

以上得到的低温和高温近似下，自由空间（）和简谐势阱（）中费米气体的解析表达式与文献[45]完全吻合。表2-1给出了理想费米气体在三维自由空间和简谐势阱中的各热力学量的比较。

续表

图2-9和图2-10分别给出了化学势和比热随温度的变化，由图2-9和图2-10可以看出，化学势和比热是温度的单调函数。费米气体并不存在相变，这是费米子受泡利不相容原理的限制所致的。同时，这也是费米气体与玻色气体之间最大的不同。

对于费米气体有和，因此

采用费米积分在低温下的展开式，有

式（2.51）仅在时收敛。第一项可以通过Thomas-Fermi半经典近似定义局域费米波数求得，即

此时，粒子密度仅与空间的局域费米海相关联，即。第二项当时发散。这是由于系数仅对较大数值有效。

动量空间的粒子分布函数可通过同样的方法得到

或者通过Thomas-Fermi半经典近似求得

式中，是单位阶跃函数。

2.3.4　结论

本节基于SCA来研究幂指数势阱中的理想量子气体的热力学行为。研究结果表明，玻色气体的热力学行为与外加势阱的类型密切相关，尤其是在BEC相变温度以下时。对于费米气体而言，内能和比热在高温时趋于经典极限，幂函数势阱只是使热力学量中的参数在低温极限下发生了定量的改变。采用幂函数势阱得到的结果具有一定的普遍性，可以通过改变幂指数转换成其他类型的势阱。当然，仅仅采用SCA得到的结果非常粗略，尤其是对于系统在低温下的性质，更准确的计算还需要借助于全量子的方法。