1.2.1 什么是有限元法？
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具。有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟，利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。为了更好地理解有限元法，下面先看一下变截面杆件问题。
1. 变截面杆力学分析
有一承受载荷P的变截面杆，如图1-2所示，杆一端固定，另一端承受载荷P。以w1代表杆的上边宽度，w2代表杆的下边宽度，杆的厚度为t，长度为L，杆的弹性模量用E表示。现求当杆件承受载荷P时，沿杆长度方向上不同位置点变形的大小。在以下分析中，假设施加的载荷比杆的重量大得多，因此忽略杆的重量。
图1-2 承受轴向载荷的变截面杆
分析：将变截面杆沿长度方向等分成4段，每段即为一个单元，截面的中点为节点，这样变截面杆用5个节点和4个单元来表示，如图1-3a所示。给定杆的模型中有4个独立的部分，每个部分（单元）的上、下横截面面积不同，为便于分析，将构成单元节点处的横截面的面积用上、下横截面的平均面积表示，模型如图1-3b所示。这样，先考虑横截面积为A、长度为l的杆件在外力F作用下构件的变形，如图1-4所示。
杆件的平均应力定义为每单位面积A上的所受的力：
图1-3 分析模型
图1-4 等截面杆等效弹簧
杆件的平均应变ε定义为每单位原始长度l的受力前后变化量Δl：
在弹性区域内，应力和应变服从胡克定律：
联立方程式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）有：
方程式（1-4）和F=kx很相似。因此，受轴向力作用的等截面杆可以看作是一个弹簧，其等效刚度为
题目中杆件的横截面面积在沿杆轴方向上是变化的。作为一次近似，可以将该杆看作是一系列受轴向载荷作用且具有不同横截面的构件。因此，该杆件可以看成是由4个弹簧串接起来组成的模型，如图1-5所示。根据方程（1-5），每个单元的弹性行为可以由相应的弹簧模型描述，即有如下方程：
等效的弹簧单元的刚度为
图1-5 将杆离散成节点和单元
图1-6 节点受力图
假定力施加在各个节点上，图1-6描述了模型中节点1～5的受力情况。静力平衡条件要求每个节点上的力的总和为零，5个节点的平衡方程如下：
本例中，由于杆的上端固定，节点1的位移是零。方程组（1-8）中有4个未知的节点位移和一个未知的反作用力R1（节点1处），总共有5个未知量。为了在求解时考虑相同类型的未知量位移，可以利用已知的边界条件u1=0来取代第1行，得到只有未知位移的方程，求解出各节点位移。
设：w1=0.05m w2=0.025m t=0.003175m L=0.254m，P=4536N E=7.32e10Pa
杆在y方向（轴向）横截面面积为
等效的弹簧单元刚度系数根据式（1-7）计算，结果见表1-1 。
表1-1 单元节点参数
方程组（1-8）求解结果如下：
各节点位移（单位：mm）为
u1=0.0000 u2=0.0260 u3=0.0560 u4=0.0915 u5=0.1349
各单元应力（单位：Pa）为
σ1=3.00×107σ2=3.46×107σ3=4.09×107σ4=5.00×107
为获得接近实际的求解，将变截面杆等分为8段，建立8单元9节点分析模型，分析结果为
节点位移（单位：mm）为
u1=0.0000 u2=0.0126 u3=0.0261 u4=0.0405 u5=0.0561
u6=0.0731 u7=0.0917 u8=0.1122 u9=0.1352
单元应力（单位：Pa）为
σ1=2.90×107σ2=3.10×107σ3=3.33×107σ4=3.60×107
σ5=3.91×107σ6=4.29×107σ7=4.74×107σ8=5.29×107
对变截面杆建立有限元模型，进行有限元仿真分析，结果如图1-7所示。
图1-7 仿真分析
有限元求解应变如图1-8所示。
图1-8 应变云图
有限元求解应力如图1-9所示。
图1-9 应力云图
求解比对——节点位移（见表1-2）。
求解比对——单元应力（见表1-3）。
表1-2 节点位移
表1-3 单元应力
2. 变截面杆电学分析
变截面杆通电电流I，如图1-10所示。以w1代表杆的上边宽度，w2代表杆的下边宽度，杆的厚度为t，长度为L，杆的电阻率用ρ表示。分析沿杆长度方向上不同点电位。
已知：w1=0.05m w2=0.025m t=0.003175m L=0.254m I=10A ρ=2×10-7Ω/m
分析：模型化简与变截面杆的力学分析模型相同，如图1-11所示。
图1-10 电流I通过的变截面杆
图1-11 模型简化
杆件的电阻为
联立式（1-11）、式（1-12）得
各节点电位为
各单元电流密度为
求解结果如下。
计算参数见表1-4。
表1-4 单元节点参数
各节点电位（单位：mV）为
U1=0 U2=0.8 U3=1.8 U4=3.0 U5=4.4
各单元电流密度（单位：A/m2）为
J1=6.62×104J2=7.63×104J3=9.01×104J4=1.10×105
为获得接近实际的求解，将变截面杆等分为8段，建立8单元9节点分析模型，分析结果为如下。
节点电位（单位：mV）为
U1=0 U2=0.4 U3=0.8 U4=1.3 U5=1.8
U6=2.3 U7=2.8 U8=3.5 U9=4.3
单元电流密度（单位：A/m2）为
J1=6.21×104J2=6.62×104J3=7.09×104J4=7.63×105
J5=8.26×104J6=9.01×104J7=9.90×104J8=1.10×105
对变截面杆建立有限元模型，进行有限元仿真分析，结果如图1-12～图1-14所示。
节点电位如图1-12所示。
图1-12 电位云图
电流密度矢量图如图1-13所示。
图1-13 电流密度矢量图
单元电流密度如图1-14所示。
图1-14 单元电流密度
求解比对——节点电位（见表1-5）。
求解比对——单元电流密度（见表1-6）。
表1-5 节点电位
表1-6 单元电流密度
3. 变截面杆有限元分析模型讨论
图1-15a、b分别为变截面杆有限元分析的力学和电学分析模型。
图1-15 分析模型
力学与电学分析的数学表达式为X=kY，力学、电学参数比对见表1-7。
表1-7 力学、电学参数比对
4. 几种物理场相应量的比较（见表1-8）
表1-8 几种物理场参数比对
