第二节　几何三大问题的历史解答

几何三大作图问题自提出后，就吸引了许多人投身其中，但由于只能使用直尺和圆规，这使问题变得难以解决并因而更富魅力。虽然许多研究者对三大问题给出了解答，所有这些解答都无法严格遵守尺规作图的限制，但这些研究却引出了大量新发现，它们对整个几何学的发展产生了巨大影响。本节中，我们将分别介绍对几何三大问题的历史解答。

倍立方问题的历史解答

倍立方问题的表述是：已知一个立方体，求作一个新立方体，使其体积是已知立方体的两倍。设已知立方体的棱长为 ，所求倍立方体的棱长为 ，显然满足 。

在倍立方问题提出后不久，希波克拉底（约公元前 460—前 370）迈出了解决问题的第一步。作为一项重要的进展，希波克拉底的发现是把这一问题做了简化。他指出，设原立方体的棱长为 ，那么只要能作出已知线段 与 的“双比例中项” 、 ，那么 即为所要求的新立方体的棱长。所谓 与 的“双比例中项” 、 ，即指 、 满足比例式子： 。容易看出这与原问题确实是等价的：由 ，可得 。

希波克拉底是如何想到把倍立方问题转化为双比例中项的呢？据推测，他是受到了倍正方形问题的启发。我们知道倍正方形问题相当于作出满足 的边长 ，而为得到长度 ，可以做 与 的比例中项，即使得 。因此，很可能这种处理倍正方形问题的方法促使希波克拉底把倍立方问题归结为找出 与 之间的“双比例中项”。

希波克拉底没有给出解决倍立方问题的具体方法，只是指出了解决问题的可行途径。经过他的“简化”后，倍立方问题转化成另一个等价的问题，从而使原来的问题变得清晰明了了。在希波克拉底之后，为了解决倍立方问题，人们的探索转向于致力寻找两条已知线段 与 的两个中项，即作出满足 的线段 、 。在这一思路的启发下，后人确实找到了几种非尺规作图的解法。

门奈赫莫斯解法

公元前 4 世纪的门奈赫莫斯（约公元前 380—前 320）给出了两种做法。一种做法是用现在的解析几何语言表示，即考虑抛物线 与 在第一象限内的交点。

通过解方程组 ，得交点的横坐标 。

另一种做法是，考虑抛物线 与双曲线 的交点，易知其横坐标 、纵坐标 恰好满足上述比例关系。事实上，我们易知交点的横坐标 。

实际上，门奈赫莫斯的巧妙解法正是来自对 所做的巧妙处理。把这一连比例式拆成两个等式 与 ，由此得到的两个方程联立求交点，即为第一种解法。同样，如果把这一连比例式拆成两个等式 与 ，即可得第二种解法。

门奈赫莫斯的解答在现在看来非常自然，但在当时却具有开创意义。一方面，他采用了曲线相交的“作图”方法，这种方法被许多后来者继承。更重要的方面在于，正是通过他的解答，数学中第一次引入了抛物线、双曲线这两种新的曲线。而在此之前，这两种曲线还不为人所知。

后来，门奈赫莫斯又发现，这两条曲线可以作为平面与圆锥面的截线得到。具体而言，用垂直于圆锥母线的平面去截圆锥面，当圆锥顶角是直角（这种圆锥当时称为直角圆锥）时，所得截线为抛物线；顶角为钝角（这种圆锥当时称为钝角圆锥）时，所得截线为双曲线的一支；顶角为锐角（这种圆锥当时称为锐角圆锥）时，截线为椭圆。这三种曲线后来统称为圆锥曲线。因此，正是在解决倍立方问题的过程中，门奈赫莫斯发现了圆锥曲线。

圆锥曲线的发现引起许多数学家的兴趣。欧几里得、阿基米德等都对其做了深入细致的研究。特别是古希腊伟大的几何学家阿波罗尼奥斯（约公元前 262—前 190）完成了传世巨著《圆锥曲线论》，把圆锥曲线的研究推进到登峰造极的地步。再后来，人们认识到，圆锥曲线不仅在数学中极为重要，而且可应用于物理、天文学，这大大抬高了圆锥曲线的价值。但这一切，追根溯源，都要归于门奈赫莫斯关于倍立方问题的解答。以后人的眼光看，在解决倍立方问题中收获最大的数学金蛋正是圆锥曲线的发现。

当然，抛物线、双曲线这类圆锥曲线是无法用尺规作出的，所以门奈赫莫斯的两种解法给出了倍立方问题的解答，但不合尺规作图的要求。

下面我们再看看其他研究者在这一著名问题上取得的进展。

柏拉图做法

如图，先作两条互相垂直的直线 、 ，它们相交于点 ，取 、 。

然后取两个直角的曲尺（木工常用的工具），使一曲尺通过 点，且直角顶点在线 上；使另一曲尺通过 点，且直角顶点在 上。

在上述条件下，移动调整两曲尺的位置，直到两曲尺的另一直角边互相密合为止。这样便在直线 与 上分别确定了点 与点 。

因为 ，所以有 。

于是 、 即为所求。

作图过程中使用的曲尺也可用直角板代替。这一借助于机械的解法，通常被称为柏拉图做法。但一般认为这一做法并非由柏拉图给出，因为柏拉图曾对使用尺规之外的机械表示不满，认为这样的结果是一无可取地失去最好的几何学，破坏人们的创造，阻止人们认识永恒的精神世界。

埃拉托塞尼方法

埃拉托塞尼（约公元前 276—前 195），是希腊数学家、地理学家，他兴趣广泛，博学多才。他是著名数学家阿基米德的挚友，约公元前 235 年担任亚历山大图书馆馆长，晚年时由于双目失明而自杀。在数学上他以“素数筛子”的发现者而闻名，在地理学上其脍炙人口的业绩是用简单的方法对地球的周长做了令人不可思议的精确测算。有意思的是，埃拉托塞尼被同时代人戏称为“贝塔”（意即第二），因为他在很多方面的工作都没有达到最高水平。但在现在很多学科领域，人们都公认他是一位伟大的学者。

在几何方面，埃拉托塞尼叙述了倍立方问题的起源（我们前面介绍过的两种传说就是源自埃拉托塞尼的说法）及求解历史，并对解决这一问题做出了自己的贡献。在下面一首被刻在托勒密三世圣殿大理石板上的短诗中，他夸耀了自己对倍立方问题的解法。

“好朋友，如果你想解决倍立方问题，而不改变立方体的形状。

那么你现在能够如愿以偿。

这样，你就可以加倍一个羊栏、地窖，或者深井的容量。

你只需要在两个直尺之间，捕获顶端共线的两个中项。

你不要去为阿尔希塔斯的圆柱面的活计困惑繁忙，

不要去为门奈赫莫斯的三个圆锥面的截线劳伤，

也不要跟着欧多克索斯去画那些神鬼生畏的曲线形状。

我的方法简单漂亮，你只需滑动这三角形小片数张，

由小到大，你很容易就能找到千千万万个比例中项。

愉快优雅地，你，托勒密！你这青春活力永驻的慈父，

你做的一切，缪斯众女神和那历代列王都要惊讶羡慕。

也许，在将来，啊，宙斯，这上天之主，

也将从你的手中接过这一独特的王杖圣物。

到那时啊，让所有见到这一贡献的人都欢呼：

这正是库热那的埃拉托塞尼的天才赠赋！”

埃拉托塞尼解决倍立方问题的方法借助了一种器械。结合上面的图，我们解释一下他的方法。

如第一图所示，在两条平行线 、 之间有三个等腰直角三角形 、、 ，第一个保持不动，后两个可在平行线上滑动。在 上取一点 ，然后如第二图所示，向左滑动 至 位置，以使 与 的交点 落在其斜边上。同样，向左滑动 至 位置，以使 与 的交点 落在其斜边上。

根据 ，可得 （相似三角形对应高的比等于对应边的比）；同理，根据 ，可得 。

设线段 ，并让 （只需取 为 的中点），则有 。通过上述操作，我们由已知线段 、 得到了其“双比例中项” 、 。根据希波克拉底的结论，倍立方问题得以解决。

为找到埃拉托塞尼所说的千千万万个比例中项，只需在此两平行线间加千千万万个滑动的三角形，依据上述同样的道理即可得到。也就是说，用他的方法，不仅能得到两线段间的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项。

三等分角的历史解答

三等分任意角这一问题何时出现，历史上没有记载。不过，正如我们已提到的，这一问题的提出是非常自然的事情。古希腊人约在公元前 500 年就已经完成了二等分任意角。既然能够容易地二等分任意角，人们自然会考虑把问题引申：能否三等分任意角呢？然而，让人深感诧异的是，由二等分到三等分，仅仅这么一点小小的变化，一个平淡无奇的几何作图题，就变成了一座高深莫测的数学迷宫。下面我们介绍几种走出这一迷宫的方法。

阿基米德方法

古希腊伟大数学家阿基米德（约公元前 287—前 212）在其《引理集》一书中证明了一个命题，后人发现，这一命题事实上可以给出一种三等分角的可能途径。为了叙述方便，我们对阿基米德的原命题稍加修改。

如图，以已知角的顶点 为圆心作圆，分别交已知角两边于 、 。然后过 点引直线与圆交于 、与 延长线交于 ，并且使 的长恰为圆的半径。

可以非常容易地证明， 。于是要三等分 ，只需过 点引 的平行线即可。

方法非常巧妙而简洁。然而难点在于，如何作出符合条件的线段 。当然，办法是有的。比如说，在直尺上标出两点，使其长度为圆的半径，然后绕点 转动直尺的位置，使直尺上这两点分别落在圆和 的延长线上。但这相当于使直尺具有了刻度的功能，与尺规作图中的直尺无任何刻度不符。

事实上，根据阿基米德这一简单明了的原理，可以制作出三等分角的仪器，下图所示即为其中一种。

帕普斯方法

希腊亚历山大的帕普斯（约 290—约 350）是罗马帝国晚期的数学家，曾把希腊自古以来名家的著作汇编为《数学汇编》，共 8 卷，其中也包括了他的创造。比如在第 4 卷中，他对三等分任意角问题就给出了自己的解答。为了理解他的方法，我们先对尺规三等分角问题做以下分析。

如图所示，设 为已知的任意角，而 是它的一个三等分角，即 。为了作出 ，我们考虑一个长方形 ， 的延长线与 延长线相交于一点，设交点为 。显然，为了作出 ，只需定出 点。作 斜边上的中线 ，容易证明， 。

于是，我们得到三等分角的一种方法：设 为已知的任意角，作一个长方形 ，过 作一条线，使这条线与 、 都相交，而且使由这两个交点确定的线段（即图中的 ）长度恰好为已知线段 的二倍。根据上面的分析，易知 是 的一个三等分角。

问题在于，如何找到满足条件的 ，或者说如何确定出点 呢？帕普斯借助双曲线实现了这一点。如果借助于有刻度的直尺，也可以做到。具体做法是，在直尺上标出一段长为 的线段 ，然后调整直尺的位置，使它过点 ，且 落在 上， 落在 延长线上，即可完成三等分角。但无论是引入双曲线还是使用有刻度的直尺，都明显违反了尺规作图的规定。然而若只用尺规，却无法作出满足条件的 ，也就无法用帕普斯方法三等分角。

上面两种方法，是古老的，也是最为人熟知的两种三等分角作图方法。

尼科米迪斯的蚌线法

古希腊数学家尼科米迪斯（约公元前 280—前 210）使用蚌线法解决了三等分角问题。为了了解该方法，我们首先介绍一下由尼科米迪斯发现的称为“蚌线”的曲线。

如下图所示，取定点 与定直线 。通过点 作与直线 相交的射线，然后在每条这样的射线上以定直线 为界向外截取固定的长度，由此确定的动点轨迹即形成蚌线的一支。如果以定直线 为界向里截取固定的长度，则可得到蚌线的另一支。其中，定点 称为蚌线的极点，定直线 称为蚌线的准线。

设蚌线定义中截取的固定长度为 （蚌线定义中的这一固定长度称为蚌线的参数），设定点 到定直线 的距离为 ，那么根据 与 的关系，蚌线可分为三种类型。若 ，蚌线不过 点；若 ，蚌线在点 处有个尖儿；若 ，蚌线穿过点 绕个扣儿又穿回去。如下图所示，每种类型都有两支。

下面就来看看如何利用这种曲线三等分角。如下图所示，要三等分 ，可以把 作为定点，直线 作为准线， 之长为蚌线的参数作出蚌线。然后以 为圆心作圆，设此圆与蚌线的一支在 外交于 ， 与准线交于点 。

因为 在蚌线上，根据蚌线的定义有 ，又 在圆上有 ，因此有 。易知 。

不难明白，这种用蚌线三等分角的办法实质上依据了阿基米德三等分角原理，它把阿基米德方法中无法用尺规确定的点，通过引入蚌线确定下来了。

利用蚌线还可以给出三等分角的另一种办法。如下图所示，设 为需要三等分的任意角。作矩形 。以 为定点、 为准线、 为蚌线的参数作出的蚌线与 延长线交于 ，连接 。于是按蚌线的定义，，作 斜边上的中线 ，易知 。

不难明白，这种用蚌线三等分角的办法依据了帕普斯方法，它把帕普斯方法中无法用尺规确定的点，通过引入蚌线确定下来了。

尼科米迪斯不仅把蚌线用于三等分角问题，而且还利用它解答了倍立方问题。此外，尼科米迪斯还创制了蚌线的机械作图器（下图所示的是 17 世纪的仿制品）。后来，这种曲线在 16、17 世纪又引起许多数学家的兴趣。

化圆为方的历史解答

圆和正方形都是常见的图形，怎样用尺规作一个正方形与已知圆等面积？在历史上，也许没有任何一个几何问题像这个“化圆为方”问题那样强烈引起人们的兴趣。早在公元前 5 世纪，就有许多人在研究这个问题。古希腊著名哲学家阿那克萨戈拉（约公元前 500—前 428）就是其中著名的一位。

阿那克萨戈拉出身显贵，非常富有。但他漠视金钱，将继承的遗产分赠亲属，自己专心于学业。有人问他活着的目的是什么？他回答是为了研究太阳、月亮和天体。他曾主张“太阳是炽烧的石头”，根本不是什么“阿波罗神”。后来，他因这种亵渎神明的观点而被投入监狱。为了打发铁窗岁月，他在狱中画圆刻方，思考化圆为方问题。但他如何研究化圆为方没有留下任何记录。

在公元前 5 世纪，对这一问题的研究已是如此普遍，以至于古希腊人对那些“献身于化圆为方问题”的人用一个专门的词来表示。古希腊著名剧作家阿里斯多芬的喜剧《鸟》（公元前 414 年上演）中，有一位角色说了这么一段台词：“如果我将这个尺子从上面放下去，再这样插进一个圆规，你看见吗，如此这般，我就化圆为方了。”可见当时化圆为方已经流行，而且自称能够解决这一问题的人已成为被嘲讽的对象。但在这众多的探索中，也确实有不少研究者给出了有价值的研究成果。下面我们就介绍其中几种化圆为方问题的解答。

希波克拉底月形

在化圆为方问题方面，一项有名的成果是由古希腊著名数学家希波克拉底（约公元前 470—前 410）获得的。

希波克拉底本是一个商人，但他的船被海盗劫走，他的财产丧失殆尽。他的人生轨迹因此完全改变。为诉讼和查访，他来到了雅典，在那里逗留了很长时间。期间，他常到学校听课，并转向几何学研究，后来他为几何学的发展做出了重要贡献。他曾完成第一本几何教科书，而欧几里得的《几何原本》就是以它为蓝本的。他还致力于“倍立方”与“化圆为方”问题的研究，在前面我们已经介绍了他在倍立方问题上的成果，在化圆为方方面，他成功地将几种月形化方。下面我们就来看一下他在这方面的研究。

我们先来介绍一下希波克拉底考虑的第一种月形。如下面的左图所示， 为等腰直角三角形。以 为直径的半圆与 、 形成两个弓形（弓形是指一个圆内被一弦与所截弧所夹的区域）。再以 为底作一个弓形，并使弓形的圆弧与 、 都相切。于是， 所含的圆心角均为 90°。由于弧所含角相等时弓形相似，所以以 为底所作的大弓形与两个小弓形相似。再进一步，可以证明相似弓形的面积与底长平方成正比。于是根据 ，得到弓形 的面积 = 弓形 的面积 + 弓形 的面积。在这一等式两边都加上“弓形 之上三角形的一部分”，得到两个圆弧所围月形 的面积等于 的面积。

这样，希波克拉底就成功地将曲边图形的面积（月形面积）用直边图形面积（直角三角形面积）表示出来了。

下面再来简单看一下他所考虑的第二种月形。如上面的右图所示，可用尺规画一个等腰梯形 ，使其满足 ，且下底 。梯形的外接圆与 、、 形成 3 个弓形。再以 为底作一弓形与 3 个小弓形相似。于是由 ，得到弓形 的面积 = 3 个小弓形面积之和。这样，两圆弧所夹月形 = 梯形的面积。于是，这种月形也可以化方。

我们看到，在第一种情形中，希波克拉底将一个外圆周等于半圆的月形化为等腰直角三角形。在第二种情形中，他又将一个外圆周大于半圆的月形化为等腰梯形。无论是等腰直角三角形还是等腰梯形，它们都可以容易地化为与之等面积的正方形，因此希波克拉底成功地将上述两种月形化方了。此外，当外圆周小于半圆时，希波克拉底也应用基本作图解决了月形化方。

于是，在外圆周等于半圆、外圆周大于半圆、外圆周小于半圆这三种情形下，希波克拉底都成功地化月形为方。但他并没有将所有的月形都化方。事实上，可以证明有些月形是无法用尺规化方的。

希波克拉底的成果朝解决化圆为方问题的方向迈进了一步。他证明了一系列特殊月形可化方，但对于单个圆的化圆为方，他最终未能解决。虽然如此，这位在几何学上取得卓越成果的数学家仍然赢得了后人的赞誉：“据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底，他还化月形为方，并作出许多几何学上的其他发现。说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底。”

穷竭法与化圆为方

为了解决化圆为方，智人学派的代表人物安蒂丰（约公元前 480—前 411）首创了颇有价值的“穷竭法”，提出用圆内接正多边形逼近圆的方法来化圆为方。其具体想法是，画一个圆，并作一个内接正方形；将正方形的每边等分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段；接着从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到 4 个以线段（即正方形的边）为底的等腰三角形，整个内接的图形现在成为正八边形。以同样的方法重复这一过程，于是可得到内接正 16 边形、正 32 边形……随着圆面积逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合。

《几何原本》中早已证明能作出一个面积等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆等积，事实上我们就作出了面积等于一个圆的正方形。

这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但这种有价值的想法成为古希腊“穷竭法”的始祖。在安蒂丰提出这种方法后，古希腊著名数学家欧多克索斯对其进行了改进，使其严格化，完善、成熟的穷竭法成为古希腊人重要而得力的证明方法，并成为后世发现微积分的出发点。事实上，微积分正是基于穷竭法产生的。

割圆曲线与化圆为方

为了化圆为方，古希腊数学家狄诺斯特拉托斯（约公元前 390—前 320）还使用了一种具有特殊性质的曲线：割圆曲线。

割圆曲线是通过运动的合成来定义的。如下图所示，设 为正方形。让 以顺时针方向绕 点以固定的角速度匀速转动，同时让 平行于自身以固定的线速度匀速向下移动，两种运动同时开始并在同一时刻到达 的位置。若用 和 分别表示这两条运动线段在任一时刻的位置，则它们的交点 所形成的轨迹便是割圆曲线。

按割圆曲线的定义，有 。以 为原点， 为横轴、 为纵轴建立直角坐标系，设正方形的边长为 1，动点 的坐标为 ，于是有： 。设 ，则 ，所以 ，又 ，因此，。

设曲线与 的交点 的坐标为 ，利用极限知识可得：

这一等式表明，如果能作出割圆曲线，则能作出线段 。通过比例作图进而获得线段 ，而以线段 为一边、2 为另一边的矩形可以化为等面积的正方形，其面积恰为单位圆的面积。因此，借助割圆曲线可以化圆为方。事实上，早在公元前 350 年，狄诺斯特拉托斯就已经成功地用割圆曲线完成了化圆为方。不过，在关键的 长度的确定上，他是用观察法确定出其值为 ，然后又用古希腊人擅长的严格穷竭法证明了这一结果。因为割圆曲线可用以化圆为方，所以它也被命名为圆积曲线。

顺便指出，割圆曲线还可以用来三等分角。如上图所示，设 是要三等分的角， 交割圆曲线于 ，作 。为了三等分 ，只需三等分对应的线段 。取 ，然后作 交割圆曲线于 ，则 即为所求的三等分角。理由很简单，根据割圆曲线的特殊性质： 与 ，于是 。显然用这种方法还可以轻易地解决 等分任意角问题，因为只需 等分对应的线段即可。事实上，正是为了解决三等分角问题，大约在公元前 430 年，古希腊数学家希比亚斯（约公元前 460—前 400）首先发现了这种除直线和圆以外的曲线。

当然，虽然能用割圆曲线三等分角与化圆为方，但是这种曲线本身是无法通过尺规作出的。

达·芬奇做法

文艺复兴时期，著名画家达·芬奇曾给出化圆为方的一个简易而巧妙的方法：设已知圆的半径为 ，则其面积为 。作一底面半径为 、高为 的圆柱，将此圆柱在平面上滚动一圈，得到一矩形。这一矩形的长为底面圆的周长 ，宽为 ，其面积为 ，恰为已知圆的面积。剩下的问题是求作一个与此矩形面积相等的正方形，这是非常容易做到的。这样就完成了化圆为方。当然，达·芬奇做法也不符合尺规作图的要求。