第二章　几何三大问题

第一节　几何三大问题的由来

公元前 5 世纪，古希腊雅典出现了一个包括各方面学者的诡辩学派（也称智者学派）。他们第一次提出并研究了三个作图问题：倍立方（体）问题、三等分角问题以及化圆为方问题。这就是数学上著名的具有历久不衰魅力的几何三大问题。这三大问题的共同点是寻求一种仅用直尺和圆规的解法。在这一限制条件下，三大问题虽一直吸引着人们的注意，但历经 2000 多年却未能真正解决。直到 19 世纪，人们才最终证明了找不到解法是因为解法根本不存在，也就是说这三大问题是尺规不能问题。本章中我们要讲述的正是三大几何问题从起源到被证明不可解的曲折而漫长的历史。

在本节中，我们将首先介绍几何三大问题的由来及尺规作图的来历。事实上，尺规作图的要求正是三大问题难解的症结。

几何三大问题的由来

几何三大问题的意思非常容易理解。倍立方问题是说，求作一立方体，使其体积等于一已知立方体体积的二倍。三等分角问题是说，三等分任意角。化圆为方问题是说，求作一正方形，使其面积等于一个已知圆的面积。

对这三个吸引了人们 2000 多年的著名问题，我们先来了解一下它们是如何起源的。

三者中，倍立方问题的起因说法多而且有趣。

一种传说与克里特岛的米诺斯王有关。米诺斯王在古希腊神话中是宙斯之子，后成为克里特岛著名的君王。他死后成为地府的三个判官之一，决定阴魂的未来命运，惩罚有罪的灵魂。后来一位古希腊诗人在一个故事中叙述说：“米诺斯发现世人为他的儿子格劳库斯建造的立方体的墓边长只有 100 尺，认为这‘太小了，你们要建造的墓可是高贵王族的栖息之所啊。墓要加大一倍’”。这就是所谓的倍立方问题。这位诗人继续传达米诺斯的吩咐：“不改变墓的形状，尽快将墓的各边长加倍——‘只要将每边增大一倍，就可以实现我的要求’。”这当然是不对的，因为每边加倍，体积将会变为原来的 8 倍。

还有另一种关于倍立方问题由来的传说。公元前 430 年，希腊雅典发生了瘟疫，相当多的希腊人失去了生命。为了消除灾难，得洛斯岛的公民代表被派往特尔斐的阿波罗神殿求助，太阳神阿波罗降下神谕，说必须把他的立方祭坛增大一倍且形状仍为立方体，疫病才不会流行。一位自作聪明的设计师将祭坛的每边增大一倍，做了一个新的祭坛，放在太阳神庙里，结果太阳神大怒，疫势反而更加猖獗。因为新祭坛的体积是原来的 8 倍，而不是 2 倍。那么应当怎样做才符合要求呢？这就是著名的倍立方问题，也称为得洛斯问题。又据说，德利安就这个问题请教过古希腊哲人柏拉图，所以这一问题也称德利安问题。没能解决这一问题的柏拉图对神谕的真意给出一个有个性的回答。他说，神这样答复，他并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是希望通过派给希腊人这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视，由此重新唤起希腊人对纯几何研究的兴趣。这里把柏拉图拉进来显然是错误的，因为这场瘟疫发生的时候，柏拉图才刚出生。

在一部阿拉伯著作中，希腊稗史又被转述成如下的说法：“柏拉图在世的时候，以色列儿童中爆发一场瘟疫。于是神向一位先知传来的声音说‘立方祭坛加一倍，瘟疫鬼头即粉碎’。于是众人另做了一个和原来同样的祭坛，把它和旧祭坛并放在一起。然而疫情蔓延日甚一日。这时神又向先知说‘两个祭坛排成队，岂乃立方体加倍？体积虽倍形长方，亵渎我神尔等罪！’于是众人向柏拉图请教。柏拉图告以‘几何学为众科学中至为崇美卓绝之学科，尔等竟无视之，神灵以故乃施惩罚。’”

这些对于问题传播起了推波助澜作用的传说自然是无稽之谈。实际上，古希腊人想到这一问题是非常自然的。古希腊人熟知，以正方形的对角线为一边作一个正方形，其面积是原正方形的两倍（如下图所示），理所当然会提出相应的立体问题，即倍立方问题。

另外两个著名的作图问题也是希腊人在解出了一些作图题之后的自然引申：因任意角可以二等分，于是就想搞三等分；解决了一些具有一定形状的图形使之与给定图形等（面）积的作图题之后，想到圆和正方形是最简单的几何图形，自然地提出化圆为方问题。

介绍过三大问题的由来后，为避免对这三大问题产生误解，我们有必要强调对这三大几何作图问题的要求。

一个要求是：从理论上精确地解决这个问题。古希腊人关心的只是精确的理论解，对问题的近似解不感兴趣，比如说，从实践角度而言，要做出一个近似的两倍体积的祭坛并非难事。另一个要求是：作图只允许用尺规。我们后面会看到，这一限制条件非常关键。事实上，整个问题难解的症结都集中在这一要求上。对此，我们有必要先了解一下为什么古希腊人会对作图提出这一特殊要求。

尺规作图的规矩与来历

学过平面几何的人都清楚，在几何作图中作图工具限用直尺（无刻度）和圆规两种，这一习惯来自古希腊。

为什么古希腊作图只限用尺规呢？原因之一是，这与古希腊人几何研究的对象有关。古希腊人研究的基本图形是直线和圆，而直尺和圆规是其具体化。有了直尺和圆规这两种作图工具，直线和圆都可作出，自然无须再增加别的工具。另一原因源于古希腊几何的基本精神：从极少的基本假定（定义、公理）出发，推导出尽可能多的命题。对于作图工具，自然也限制到不能再少的程度。此外，古希腊人对尺规作图的严格要求可能受到了柏拉图思想的影响。作为哲学家的柏拉图特别重视数学，他强调几何在训练智力方面的特殊作用。为了达到训练逻辑思维的目的，柏拉图主张作图工具要有所限制，反对用尺规之外的其他机械工具作图。

根据现有的资料，在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯（约公元前 465 年）。在那以前，许多作图题都是不限工具的。以后经过柏拉图（约公元前 427—前 347）大力提倡，尺规的限制渐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》一书中，并由公设的形式规定下来。欧几里得提出的公设有 5 条，与作图有关的有三条。

• 公设 1. 由任意一点到另外任意一点可以画直线。
• 公设 2. 一条有限直线可以继续延长。
• 公设 3. 以任意点为圆心及任意的距离 1 可以画圆。

1原文中无“半径”二字出现，此处“距离”即圆的半径。

显然，根据这几条公设，作图工具只能用尺规。而公设 1 与公设 3 在明确了只能允许使用尺规两种工具之后，进一步指出了尺规具有的功能。事实上，这两条公设指明了利用直尺和圆规可以并且只能完成的被认可的简单作图，我们分别称这两条约定为作图公法 1°与作图公法 2°。顺便指出，这两条公法实际上只能用理想的圆规和直尺才能实现，比如，直尺要足够长，圆规的跨度要放得很大又要能收得很小。因此，这是理想化了的作图规则。

除这两条作图公法外，还有一条自然的约定可作为作图公法 3°：两条已知直线，或一条已知直线和一个已知圆，或两个已知圆，如其相交，可确定其交点。此外，作图中还有一个附加规定：在已知直线上或直线外，已知圆周上或圆内或圆外，均可任意取点，但所取的点不得附加其他任何特殊性质。

上面 3 条约定的作图公法，指明了尺规作图的可能范围。于是利用直尺和圆规来完成一个作图题，就是指由上述作图公法所确定的简单作图的有限次组合。下面我们以熟知的二等分角为例来领会一下。

已知 ，求作射线 ，使 。

做法

1）以点 为圆心、任意长为半径作弧 （根据作图公法 2°，即公设 3），交 于点 （根据作图公法 3°），交 于点 （根据作图公法 3°）。

2）分别以点 和 为圆心、以大于 的长为半径作弧（根据作图公法 2°），这两条弧相交于点 （根据作图公法 3°）。

3）作射线 （根据作图公法 1°，即公设 1）。

则 就是所求作的射线。

可以看到，这一例子的作图过程实质上是作图公法 2°、作图公法 3°、作图公法 3°、作图公法 2°、作图公法 3°、作图公法 1°的组合。不仅如此，任何一个利用直尺和圆规来完成的作图题，都能转化为作图公法 1°~3°的有限次组合。凡是能有限次利用 3 条作图公法完成的作图就称为尺规作图可能问题。反之，凡不能有限次利用 3 条作图公法完成的作图就称为尺规作图不能问题。在作图公法的限制下，用尺规确实可以作出许多图形，甚至可以作出相当复杂的图形，但是是否如古希腊人所相信的那样“不论多么复杂的图形，都能依靠足够的耐心和聪明的才智，仅用尺规把图作出来”呢？并非如此。事实上，有些图形确实无法只用尺规完成，本章介绍的三大作图问题就是最典型的尺规作图不能问题。在长达 2000 多年的时间里，人们未能意识到这一点，为此付出了无数的心血，都以失败告终。但这个探索的过程也孵出了许多数学金蛋。在下一节中，我们就要去了解一下人类这一悲壮却并非无所获的历程。