2.3 几何解释

本节将介绍网络定位与导航系统中EFIM的几何解释，并提供对定位系统和算法的设计及分析的启示。我们从无空间协作的静态网络开始，然后扩展到有时空协作的动态网络。

2.3.1 信息椭圆

由式（2-3）给出的移动节点k在非协作场景下的位置的EFIM可以使用特征值分解重写为

其中，μ_k≥η_k，是J_e（p_k）的特征值，是角度为_kϑ的旋转矩阵，由下式给出：

的第一列和第二列分别是对应于特征值μ_k和η_k的特征向量。利用特征值的性质，有

移动节点k的平方位置误差界（SPEB）为

定义2-2（信息椭圆）：EFIMJ∈的信息椭圆定义为点集

图2-4（a）描绘了一个对应于EFIM的信息椭圆，其长轴和短轴分别等于和，距参考坐标的旋转角为。此外，来自新锚点的RI可被视为退化的信息椭圆，其长轴等于，短轴等于0且具有旋转角ϕ。加入新锚点信息的EFIM所对应的信息椭圆沿着方向ϕ增长。

假设在式（2-53）中ϑ_k=0，附加的RI如图2-4（a）所示，则新的EFIM可以表示为

对应一个新的信息椭圆，其长轴、短轴和旋转角由下式给出：

其相应的SPEB为

可以证明，这个新的SPEB将小于或者等于P（p_k）。

对于固定的RIIv，式（2-61）中的P～（p_k）可以通过改变分母中的ϕ实现最小化：

其中

也就是说，当新锚点沿着与J_e（p_k）对应的信息椭圆的短轴放置时，能够得到最小的SPEB（或者说当新锚点沿着信息椭圆的长轴放置时，能够得到最大的SPEB）。

此外，放置额外锚点后的移动节点SPEB有界如下：

其下限和上限可分别通过将ν设置为+∞和0来获得，有

2.3.2 空间协作的信息椭圆

通过运用EFI分析，我们可以从式（2-34）中给出的包含空间协作的EFIM进一步得到单个移动节点的EFIM。单个移动节点的EFIM完整的表达式很复杂，但我们可以用简单的表达式找到它的下限和上限。

根据定理2-3中给出的和S_kj的定义，可以给出移动节点k的单独的EFIM上下界为

其中

且有

不等式（2-67）表明EFIM的界限可以写成来自相邻锚点和移动节点的RI的线性加权和。特别地，来自锚点的部分权重为1，而来自移动节点的部分权重在0～1之间。这种退化是由相邻移动节点位置的不确定性造成的。上述结果中，式（2-68）和式（2-69）中的权重和RI可以仅由移动节点k的局部邻节点信息来确定，这一邻域特性可以用于指导协作定位网络的性能分析及分布式算法的设计。

一种特殊情况是，只有两个移动节点（即移动节点1和移动节点2）发生协作，此时可以证明式（2-67）中的下限和上限会变成一致。因此单个移动节点的EFIM的准确表达式如下：

其中，。同理可得J_e（p₂），它的表达式和式（2-70）对称。协作前后的信息椭圆在图2-4（b）中标出，其中新的信息椭圆沿着两个移动节点之间的连接线方向增加。

由于移动节点2的位置具有不确定性，式（2-70）所示的移动节点2为移动节点1提供的有效RII是

除非Δ₁₂=0，否则，即来自移动节点2的RI不能被移动节点1充分利用，这与来自锚点的RI不同。值得注意的是，Δ₁₂可以被视为移动节点2的方向平方测距误差，这意味着移动节点2的位置信息沿角度ϕ₁₂的不确定性越大，协作效果越差。

对于给定的Δ₁₂，有效RII随λ₁₂单调增加，并具有如下的渐近极限：

因此，移动节点2可以向移动节点1提供的最大有效RII由移动节点2沿角度ϕ₁₂的方向平方测距误差的倒数决定。

需要注意的是，对应于移动节点2沿ϕ₁₂方向没有位置不确定性的情况，即当Δ₁₂=0时，原始的RII不会减弱。在这种情况下，移动节点2可以被认为是向移动节点1提供RI的一个锚点。

2.3.3 时空协作中的信息演化

最后，我们介绍一下时空协作的几何解释，并说明网络定位与导航的信息演化。本节将重点介绍分布式定位网络的结转信息。

回想一下，在分布式场景下，式（2-52）中的EFIM是具有2×2块的块对角矩阵。因此，考虑在单一时刻的单个移动节点，并简化结转信息的表示为

我们将空间和时间矩阵分别分解为

其中，μ≥η≥0，ζ≥ξ≥0，并且ϑ，θ∈[0，π）。为了便于讨论，我们记U：=ζJ_r（θ）和作为时间矩阵的分解。

经过代数运算后，式（2-74）中的结转信息可以被重写为

系数由下式给出：

结转信息的表达式（2-77）可以表示为三项的和：前两项表示从时间协作获得的位置信息的两个正交分量，其权重在0～1之间，取决于空间协作后移动节点沿两个正交方向上位置的不确定性；第三项表征空间和时间协作信息间的耦合。对于耦合项，注意到具有特征值和特征向量和。此外，式（2-80）中的系数q₃也可以写为

如果sin（2（ϑ-θ））＞0，耦合项在θ+π/4的方向上以强度增加EFIM，在θ-π/4的方向上以相同的量减小；如果sin（2（ϑ-θ））＜0，则结论相反。当（1）η=μ；（2）|ϑ-θ|=0或π/2；（3）ξ=0三个条件中满足一个时该耦合项消失。在前两种情况下，T的特征向量与S的特征向量同向，并且有

在第三种情况下，来自时间协作的位置信息退化为一维矩阵。也就是说，T=U，因此结转信息也退化为一维矩阵。最后，在几何解释上，时间协作沿两个正交方向扩大了信息椭圆，这两个正交方向由节点自身测量和前一时刻的空间信息共同确定，如图2-4（c）所示。

总之，结转信息取决于前一时刻的空间协作之后的位置信息和从节点自身测量获得的信息。由于位置信息S所表征的位置的不确定性，可以得到。

利用空间和时间协作的讨论，我们说明了图2-5中时空协作引起的网络定位与导航中的信息演化。图中，内部椭圆表示通过时间协作从t_n-1～t_n时刻每个移动节点的EFIM；虚线椭圆表示用锚点进行节点间测量后的EFIM；外部椭圆表示通过两个移动节点之间的空间协作在t_n时刻的EFIM。每个移动节点的三个椭圆分别对应于初始结转信息、从锚点获得的信息和空间协作后的信息。