1.3 按照输入杆与输出杆位置关系设计四杆机构
按输出杆与输入杆的位置关系设计连杆机构，可采用几何法、分析法和实验法。几何法比较简便，在一般设计中采用较多，但它只能求解输入杆和输出杆的某几个有限位置的对应关系，精度不如分析法高；分析法则可在一定的范围内逼近给定的运动规律，精度较高，并可求出所求运动与实际运动的偏差（四连杆机构不可能完全准确地完成任意给定的运动规律），但计算较复杂；实验法是通过作图试凑选择机构的基本尺寸，精度低，用于近似设计和机构尺寸的预选。
1.3.1 几何法
（1）转动极、等视角关系和相对转动极
①转动极。铰链四杆机构（图4-2-10）ABCD中，连杆BC从位置B1C1到B2C2所转过的角度为θ12，作B1B2和C2C2的垂直平分线nb和nc，其交点P12称为连杆相对于机架从位置1转到位置2的转动极（点）。图4-2-10a及b中∠B1P12B2=∠C1P12C2=θ12。
图4-2-10
②等视角关系。即从转动极P12看输入杆AB与输出杆CD时有相等或互补的视角，即：
在图4-2-10a中∠B1P12A=∠C1P12D=∠B2P12A=∠C2P12D=θ12/2
在图4-2-10b中∠B1P12A=θ12/2，∠DP12C1=∠DP12C2=180°-θ12/2
从转动极P12看连杆BC及机架AD时，也有相等或互补的视角。
在图4-2-10a中∠B1P12C1=∠AP12D=∠B2P12C2
在图4-2-10b中∠B1P12C1=θ12/2＋∠AP12C1=∠AP12nc
∠B2P12C2=θ12/2＋∠B2P12nc=∠AP12B2＋∠B2P12nc=∠AP12nc
∠B1P12C1＋∠DP12A=∠B2P12C2＋∠DP12A=180°
③相对转动极。图4-2-11a表示机构的两个位置，输入杆AB转过φ12角，输出杆CD转过对应的Ψ12角（顺时针方向的角度为正，逆时针方向的角度为负）。图4-2-11b表示上述机构在第二位置时的图形AB2C2D绕固定铰链A逆时针旋转φ12角度，使AB2还原到AB1，此时C2到
、D到D′位置，经这样倒置后，相当于机构的输入杆AB成为机架，而输出杆DC成为连杆。
与DD′的垂直平分线的交点R12称为输出杆CD相对于输入杆AB从位置1到位置2的相对转动极。
图4-2-11
图4-2-11c是机构在第一位置时对相对转动极的等视角关系，即：
∠B1R12C1=∠AR12D=δ12/2=［（Ψ2-φ2）-（Ψ1-φ1）］/2=（Ψ12-φ12）/2
式中，δ12是输出杆对输入杆的相对转角（Ψ12-φ12）。
（2）用相对极法综合四杆机构使输入与输出构件满足三个对应位置关系（见表4-2-2）
表4-2-2
注：如设计输入杆与输出杆满足两个对应位置关系，只需在R12ZB线上任取一点作为输入杆上动铰链B1的位置，而在R12ZC线上任选一点（对曲柄滑块机构为R12ZC与l1线的交点）为动铰链C1的位置。
（3）用相对极法综合四杆机构使输入与输出杆满足四个对应位置关系
这种机构（图4-2-12）的设计步骤如下：
图4-2-12
①根据已知的输入角与输出角，先求出三个相对极位置R12、R13和R14；
②用三张透明纸作顶角值分别为∠AR12D、∠AR13D和∠AR14D的角度样板；
③用实验法将三块样板的顶角点分别绕R12、R13和R14点转动，使样板的对应边（ZB、
、
）和（ZC、
、
）分别相交于点B1及C1，便确定了待求的动铰链位置。
AB1C1D即为机构图形。
为了得到比较精确的结果，可用解析法计算出R12、R13和R14的坐标和样板角度的正切值，然后做样板。
（4）用倒置法综合四杆机构
用相对极法综合机构时应用了倒置原理，这里所说倒置法是用点位还原的作图法。作图步骤见表4-2-3。
表4-2-3
1.3.2 分析法
以铰链四杆机构的函数综合仪的设计为例进行分析。图4-2-13a所示铰链四杆机构，其两连架杆角位置Ψ和φ存在函数关系，如果要求实现的运动规律为y=f（x）（式中x0≤x≤xm），就要选择一组机构参数，使上述两关系相同（精确实现）或接近（近似实现）。连杆机构一般很难完全精确地实现所要求的运动规律。所以设计机构时往往选择一组机构参数，使其中有若干个点（如图4-2-13b中x1、x2、x3）是精确地实现的，其他点则是近似地实现，但其误差不超过一定的允许值。
图4-2-13
设计参数共有7个，即各构件的3个相对长度参数，输入角φ、输出角Ψ的转角范围φf和Ψf，以及输入角与输出角的起始值φ0与Ψ0。
精确插值结点用图4-2-14的切氏区间法来确定。应用这个方法确定插值结点的横坐标值，在机构误差分析的多数情况中，其极限偏差值相差很小。
图4-2-14
插值结点的横坐标根据下式确定：
式中，i=1、2、…、M。
M为精确插值结点的数目，xm-x0=2h为逼近区间。x0＋xm=2a，a为区间的中点值。
当M=3时，用内接于半径为h的圆的正六边形求x1、x2、x3的横坐标。当M=4时，以内接正八边形求x1、x2、x3、x4的横坐标。求得xi后即可求出相应的yi。
用分析法设计铰链四杆机构，根据图4-2-13a对任一组对应位置可推导出求解的公式。
acos（π-φ）＋bcosδ＋ccosΨ=1 （4-2-1）
asin（π-φ）＋bsinδ=csinΨ （4-2-2）
消去δ得
cosφ=p1cosΨ＋p2cos（φ-Ψ）＋p3 （4-2-3）
式中
（4-2-4）
在设计满足三对对应位置关系的铰链四杆机构时，令：
W1=cosφ1-cosφ2，W2=cosφ1-cosφ3，W3=cosΨ1-cosΨ2，
W4=cosΨ1-cosΨ3，W5=cos（φ1-Ψ1）-cos（φ2-Ψ2），W6=cos（φ1-Ψ1）-cos（φ3-Ψ3），
以φi、Ψi（i=1、2、3）代入方程式（4-2-3），得：
（4-2-5）
因而决定了机构的参数a、b、c，如图4-2-13b中实线表示Ψ=F（φ），虚线表示要求的函数y=f（x），Δ表示插值结点以外位置的误差。
例 设计四铰链机构实现y=x1.5，1≤x≤4。
已知条件：x0=1，xm=4，y0=1，ym=8。选定φ0=30°，φf=90°，Ψ0=90°，Ψf=90°。
解 1.插值结点的计算，M=3
2.插值结点的输入角及输出角的余弦值
cosφ1=0.808709，cosφ2=0.258819，cosφ3=-0.406258
cosΨ1=-0.070975，cosΨ2=-0.615111，cosΨ3=-0.991077
cos（φ1-Ψ1）=cos58.04=0.529327，cos（φ2-Ψ2）=cos52.96=0.602372
cos（φ3-Ψ3）=cos58.37=0.524432
3.W值
W1=cosφ1-cosφ2=0.54989， W2=cosφ1-cosφ3=1.214967， W3=cosΨ1-cosΨ2=0.544136，
W4=cosΨ1-cosΨ3=0.920102， W5=cos（φ1-Ψ1）-cos（φ2-Ψ2）=-0.073045，
W6=cos（φ1-Ψ1）-cos（φ3-Ψ3）=0.004895
W1W6=0.002692，W2W3=0.661107，W3W6=0.002664，
W2W5=-0.088745，W1W4=0.505955，W4W5=-0.067209
4.p值
p3=cosφ1-p1cosΨ1-p2cos（φ1-Ψ1）=0.808709-1.3086×（-0.070975）-2.2205×0.529327=-0.2738
校核p3
p3=cosφ2-p1cosΨ2-p2cos（φ2-Ψ2）=0.258819-1.3086×（-0.615111）-2.2205×0.602372=-0.2738
5.各构件相对长度d=1（图4-2-15）
c=p2=2.2205
b2=2ap3＋a2＋c2＋1=7.8809
b=2.8073
图4-2-15
6.误差分析
Ψ∗=α1＋α2（机构实际输出角值）
（理论所需输出角值）
角度偏差值ΔΨ=Ψ∗-Ψ，函数偏差值
误差分析数据表如下。
a=1.6969 b=2.8073 c=2.2205 d=11＋a2=3.8795 c2-b2=-2.9503 2c=4.4410
注：误差曲线如图4-2-16。
图4-2-16
对于铰链四杆机构，当按照输入杆和输出杆的给定若干组对应角位移设计时，由于机构的设计参数最多为五个（如a、b、c、φ0、Ψ0），故用精确点逼近设计时，最多只能按五个精确点设计。这时，式（4-2-5）应改写为式（4-2-5a）
cos（φ0＋φi）=p1cos（Ψ0＋Ψi）＋p2cos（φ0＋φi-Ψ0-Ψi）＋p3（i=1、2、3、4、5） （4-2-5a）
式中，φi及Ψi分别为输入杆、输出杆相对于其起始角φ0、Ψ0的角位移。
对于四组对应位置设计时，方程中i=1、2、3、4，任意选定φ0（或Ψ0）值可得到四个联立方程，待求参数为Ψ0（或φ0）、p1、p2、p3。设法消去p1、p2、p3先得到一个关于Ψ0（或φ0）的代数方程，求出Ψ0后，将Ψ0代回原方程中的三个方程联立解出p1、p2、p3，再由式（4-2-4）求出a、b、c（d=1）。对于五组对应位置的设计，方程中i=1、2、3、4、5，可以列出五个方程，待求参数为φ0、Ψ0、p1、p2、p3。先设法消去p1、p2、p3求出φ0和Ψ0，然后将φ0、Ψ0代回原方程组，由其中三个方程联立解出p1、p2、p3。也可用数值迭代法计算求解。
1.3.3 实验法
用几何法、分析法设计输入杆及输出杆满足三对对应位置的四铰链机构时，可以得到精确解；多于三对对应位置时，可用实验法试凑进行设计，所得精度可以满足一般工程要求。如精度不够，可将其结果作为初值，再用解析法使之精确化。
例 设计一个铰链四杆机构，输入角与输出角的位置关系如下：
解 1.用透明纸Ⅰ按输入角位移的要求作出一系列输入杆的位置线j1、j2、…、j7，选一合适的输入杆长度AB和连杆长度BC，以B1、B2、…、B7为中心，BC为半径，作一系列圆K1、K2、…、K7（图4-2-17a）。
图4-2-17
2.在另一透明纸Ⅱ上，作输出杆的各个位置线l1、l2、…、l7，然后以D为中心作几个同心圆s1、s2、…、sn（图4-2-17b）。
3.把透明纸Ⅰ覆盖在透明纸Ⅱ上进行试凑，使Ⅰ上各圆弧K1、K2、…、K7分别与Ⅱ各对应的输出杆位置线l1、l2、…、l7相交，且交点均在某一同心圆上（如图4-2-17c中的s3），得到机构AB1C1D。试凑时往往要改变连杆的长度作多次试凑才能得到满意的结果。有时也可能无解。