第3章　数据的图表展示

3.1　知识要点总结

一、数据的预处理

1．数据审核

即检查数据中是否有错误。

（1）原始数据主要从完整性和准确性两个方面去审核

①完整性审核：主要是检查应调查的单位或个体是否有遗漏，所有的调查项目是否填写齐全等；

②准确性审核：主要是检查数据是否有错误，是否存在异常值等。

对于异常值要仔细进行鉴别：如果异常值属于记录时的错误，在分析之前应予以纠正；如果异常值是一个正确的值，则应予以保留。

（2）二手数据着重审核数据的适用性和时效性

①首先应弄清楚数据的来源、数据的口径以及有关的背景材料，以便确定这些数据是否符合分析研究的需要，不能盲目生搬硬套；

②对于一些时效性较强的问题，如果所取得的数据过于滞后，就可能失去研究的意义。

2．数据筛选

即根据需要找出符合特定条件的某类数据。可借助计算机自动完成。

3．数据排序

数据排序是按一定顺序将数据排列，以便研究者通过浏览数据发现一些明显的特征或趋势，找到解决问题的线索。除此之外，排序还有助于对数据检查纠错，以及为重新归类或分组等提供方便。

排序后的数据称为顺序统计量。

二、品质数据的整理与展示

1．分类数据的整理与图示

（1）频数与频数分布

①频数与频数分布

频数是落在某一特定类别或组中的数据个数。把各个类别及落在其中的相应频数全部列出，并用表格形式表现出来，称为频数分布。

②列联表和交叉表

由两个或两个以上变量交叉分类的频数分布表也称为列联表。

二维的列联表（两个变量交叉分类）又称为交叉表。

③比例（构成比）

比例是一个样本（或总体）中各个部分的数据与全部数据之比，通常用于反映样本（或总体）的构成或结构。

④百分比

将比例乘以100得到的结果称为百分比，用%表示。

⑤比率

比率是样本（或总体）中各不同类别数据之间的比值。其比值可能大于1。

（2）分类数据的图示

①条形图

指用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形。可以横置或纵置，纵置时也称为柱形图。条形图有简单条形图、复式条形图等形式。

②帕累托图

指按各类别数据出现的频数多少排序后绘制的条形图。通过对条形的排序，容易看出哪类数据出现得多，哪类数据出现得少。

③饼图

指用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形，它主要用于表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占全部数据的比例。

④环形图

把饼图叠在一起，挖去中间的部分就是环形图。

环形图与饼图类似，但又有区别。环形图中间有一个“空洞”，每个样本用一个环来表示，样本中的每一部分数据用环中的一段表示。因此环形图可显示多个样本各部分所占的相应比例，从而有利于构成的比较研究。

2．顺序数据的整理与图示

分类数据的频数分布表和图示方法，如频数、比例、百分比、比率、条形图和饼图等，也都适用于对顺序数据的整理与显示。但一些适用于顺序数据的整理和显示方法，并不适用于分类数据。对于顺序数据，还可以计算累积频数和累积频率（百分比）。

（1）累积频数和累积频率

①累积频数：将各有序类别或组的频数逐级累加起来得到的频数。其累积方法有两种：

a．向上累积：从类别顺序的开始一方向类别顺序的最后一方累加频数（数值型分组数据则是从变量值小的一方向变量值大的一方累加频数）；

b．向下累积：从类别顺序的最后一方向类别顺序的开始一方累加频数（数值型分组数据则是从变量值大的一方向变量值小的一方累加频数）。

②累积频率或累积百分比：将各有序类别或组的百分比逐级累加起来，它也有向上累积和向下累积两种方法。

（2）顺序数据的图示

根据累积频数或累积频率，可以绘制累积频数分布或频率图。

三、数值型数据的整理与展示

1．数据分组

（1）数据分组的概念和目的

数据分组是根据统计研究的需要，将原始数据按照某种标准化分成不同的组别，分组后的数据称为分组数据。

数据分组的主要目的是观察数据的分布特征。数据经分组后再计算出各组中数据出现的频数，就形成了一张频数分布表。

（2）数据分组的方法

①单变量值分组：把每一个变量值作为一组，这种分组通常只适合离散变量，且在变量值较少的情况下使用；

②组距分组：将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一组。在组距分组中，一个组的最小值称为下限；一个组的最大值称为上限。

在连续变量或变量值较多的情况下，通常采用组距分组。

（3）分组和编制频数分布表的具体步骤

①确定组数

一般情况下，一组数据所分的组数不应少于5组且不多于15组。实际应用时，可根据数据的多少和特点及分析的要求来确定组数。

②确定各组的组距

组距是一个组的上限与下限的差。组距可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即组距＝（最大值－最小值）÷组数。

注意：为便于计算，组距宜取5或10的倍数，而且第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值。

③根据分组整理成频数分布表

（4）组距分组的注意事项

①组距分组需要遵循“不重不漏”的原则

“不重”是指一项数据只能分在其中的某一组，不能在其他组中重复出现；“不漏”是指组别能够穷尽，即在所分的全部组别中每项数据都能分在其中的某一组，不能遗漏。

为解决“不重”的问题，统计分组时习惯上规定“上组限不在内”，即当相邻两组的上下限重叠时，恰好等于某一组上限的变量值不算在本组内，而计算在下一组内。

a．对于离散变量，可以采用相邻两组组限间断的办法解决“不重”的问题；

b．对于连续变量，可以采取相邻两组组限重叠的方法，根据“上组限不在内”的规定解决“不重”的问题，也可以对一个组的上限值采用小数点的形式，小数点的位数根据所要求的精度具体确定。

②组距分组要避免出现空白组（即没有变量值的组）或个别极端值被漏掉

在组距分组中，如果全部数据中的最大值和最小值与其他数据相差悬殊，为避免出现空白组（即没有变量值的组）或个别极端值被漏掉，第一组和最后一组可以采取“××以下”及“××以上”这样的开口组。开口组通常以相邻组的组距作为其组距。

（5）等距分组、不等距分组

在组距分组时，如果各组的组距相等，则称为等距分组；如果各组的组距不相等，则称为不等距分组。

（6）组中值

组中值是每一组中下限值与上限值中间的值，即

在组距分组时，通常用组中值作为该组数据的一个代表值。使用组中值代表一组数据时有一个必要的假定条件，即各组数据在本组内呈均匀分布或在组中值两侧呈对称分布。

2．数值型数据的图示

条形图、饼图、环形图及累积分布图等都适用于显示数值型数据。此外，对数值型数据还有一些图示方法，这些方法并不适用于分类数据和顺序数据。

（1）分组数据：直方图

①直方图：用于展示分组数据分布的一种图形，它是用矩形的宽度和高度（即面积）来表示频数分布的。

绘制该图时，在平面直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，这样，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。

②直方图与条形图的区别

a．条形图是用条形的长度（横置时）表示各类别频数的多少，其宽度（表示类别）则是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或频率，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义；

b．由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列；

c．条形图主要用于展示分类数据，而直方图则主要用于展示数值型数据。

（2）未分组数据：茎叶图和箱线图

①茎叶图

茎叶图是反映原始数据分布的图形。它由茎和叶两部分构成，其图形是由数字组成的。

通过茎叶图，可以看出数据的分布形状及数据的离散状况，比如，分布是否对称，数据是否集中，是否有离群点等。

绘制茎叶图的关键是设计好树茎。制作茎叶图时，首先把一个数字分成两部分，通常是以该组数据的高位数值作为树茎，而且叶上只保留该数值的最后一个数字。

茎叶图类似于横置的直方图，与直方图相比，茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，即保留了原始数据的信息；而直方图虽然能很好地显示数据的分布，但不能保留原始的数值。在应用方面，直方图通常适用于大批量数据，茎叶图通常适用于小批量数据。

②箱线图

a．箱线图

由一组数据的最大值、最小值、中位数、两个四分位数这五个特征值绘制而成的，它主要用于反映原始数据分布的特征，还可以进行多组数据分布特征的比较。

b．箱线图的绘制方法

先找出一组数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数；然后，连接两个四分位数画出箱子；再将最大值和最小值与箱子相连接，中位数在箱子中间。

（3）时间序列数据：线图

如果数值型数据是在不同时间上取得的，即时间序列数据，则可以绘制线图。线图主要用于反映现象随时间变化的特征。

注意：绘制线图时，时间一般绘在横轴，观测值绘在纵轴。一般应绘成横轴略大于纵轴的长方形，其长宽比例大致为10：7。图形过扁或过于瘦高，不仅不美观，而且会给人造成视觉上的错觉，不便于对数据变化的理解。一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始，以便于比较。数据与“0”之间的间距过大，可以采取折断的符号将纵轴折断。

（4）多变量数据的图示

①散点图

散点图是用二维坐标展示两个变量之间关系的一种图形。它是用坐标横轴代表变量，纵轴代表变量，每组数据（，）在坐标系中用一个点表示，组数据在坐标系中形成的个点称为散点，由坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。

②气泡图

可用于展示三个变量之间的关系。绘制时将一个变量放在横轴，另一个变量放在纵轴，而第三个变量则用气泡的大小来表示。

③雷达图

是显示多个变量的常用图示方法，也称为蜘蛛图。雷达图在显示或对比各变量的数值总和时十分有用，假定各变量的取值具有相同的正负号，则总的绝对值与图形所围成的区域成正比；此外，它也可以研究多个样本之间的相似程度。

四、合理使用图表

1．鉴别图形优劣的准则

（1）一张好图应具有的基本特征

①显示数据；

②让读者把注意力集中在图形的内容上，而不是制作图形的程序上；

③避免歪曲；

④强调数据之间的比较；

⑤服务于一个明确的目的；

⑥有对图形的统计描述和文字说明。

（2）五种鉴别图形优劣的准则

①精心设计，有助于洞察问题的实质；

②使复杂的观点得到简明、确切、高效的阐述；

③能在最短的时间内以最少的笔墨给读者提供最大量的信息；

④应当是多维的；

⑤应当表述数据的真实情况。

2．统计表的设计

（1）统计表的构成

①表头：应放在表的上方，它说明的是统计表的主要内容。

②行标题和列标题：通常安排在统计表的第一列和第一行，它表示的主要是所研究问题的类别名称和变量名称，如果是时间序列数据，行标题和列标题也可以是时间，当数据较多时，通常将时间放在行标题的位置。

③数字资料：行标题和列标题的其余部分是具体的数字资料。

④表外附加：必要时可以在统计表的下方加上表外附加，主要包括数据来源、变量的注释和必要的说明等内容。

（2）设计和使用统计表时的注意事项

①要合理安排统计表的结构，比如行标题、列标题、数字资料的位置应安排合理。应使统计表的横竖长度比例适当，避免出现过高或过宽的表格形式。

②表头一般应包括表号、总标题和表中数据的单位等内容。

总标题应简明确切地概括出统计表的内容，一般需要表明统计数据的时间（When）、地点（Where）以及何种数据（What），即标题内容应满足3W要求。

如果表中的全部数据都是同一计量单位，可在表的右上角标明；若各变量的计量单位不同，则应放在每个变量后或单列出一列标明。

③表中的上下两条横线一般用粗线，中间的其他线要用细线，这样使人看起来清楚、醒目。通常情况下，统计表的左右两边不封口；列标题之间在必要时可用竖线分开，而行标题之间通常不必用横线隔开。总之，表中尽量少用横竖线。

表中的数据一般是右对齐，有小数点时应以小数点对齐，而且，小数点的位数应统一；对于没有数字的表格单元，一般用“—”表示；一张填好的统计表不应出现空白单元格。

④在使用统计表时，必要时可在表的下方加上注释，特别要注意注明数据来源，以表示对他人劳动成果的尊重，以备读者查阅使用。