2.2　课后习题详解

思考题

2-1  何谓确知信号？

答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。

2-2  试分别说明能量信号和功率信号的特性。

答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。

（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。

2-3  试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。

答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。

2-4  试画出单位阶跃函数的曲线。

答：如图2-1所示。

图2-1

2-5  试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。

答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。

（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。

（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。

（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。

2-6  频谱密度S（f）和频谱C（jnω₀）的量纲分别是什么？

答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。

2-7  自相关函数有哪些性质？

答：自相关函数的性质：

（1）自相关函数是偶函数；

（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；

（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。

2-8  冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？

答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。

（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。

习题

2-1  试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：

（1）s₁（t）＝e－tu（t）

（2）s₂（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）

（3）s₃（t）＝e－2t

解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。

（1）s₁（t）＝e－tu（t）的能量为

而功率为

所以s₁（t）是能量信号，也是非周期信号。

（2）满足两个周期信号相加后仍是周期信号的条件为T＝mT₁＋nT₂，其中m、n为正整数。

该信号中sin（6πt）的周期为，2cos（10πt）的周期为，则T₁和T₂的最小公倍数为

因此，s₂（t）是周期为2的周期信号，而周期信号必然是功率信号。

（3）s₃（t）＝e－2t的能量为

而功率为

由上可知，s₃（t）既不是能量信号也不是功率信号，也是非周期信号。

2-2  试证明图2-1中周期性信号可以展开为

图2-1

证明：取区间-1/2≤t≤3/2作为一个周期进行计算，并令周期T₀＝2。

由教材式（2.2-1）可得

将上式代入教材式（2.2-2），得

所以，得证。

2-3  设信号s（t）可以表示成

s（t）＝2cos（2πt＋θ）  －∞＜t＜∞

试求：（1）信号的傅里叶级数的系数C_n；

（2）信号的功率谱密度。

解：（1）由题可知，信号的振幅A＝2，基频f₀＝1，周期T₀＝1，且由教材式（2.2-1）得信号s（t）的傅里叶级数的系数为

得

由上式可知，只有n＝±1时，C_n≠0，可以得出│C_n│＝1，n＝±1。

（2）由教材式（2.2-44）可得s（t）的功率谱密度为

2-4  设有一信号如下：

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：（1）x（t）的能量为

因此x（t）是能量信号。

（2）对x（t）进行傅里叶变换，可得其频谱密度为

所以

故x（t）的能量谱密度为

2-5  求图2-2所示的单个矩形脉冲（门函数）的频谱（密度）、能量谱密度、自相关函数及其波形、信号能量。

图2-2

解：对s（t）进行傅里叶变换，可得其频谱函数为

则s（t）的能量谱密度为

已知能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换。利用时域卷积特性可得，s（t）的自相关函数R（τ）为高为A、宽为T的两个门函数的卷积，即

其波形如图2-3所示

图2-3

所以s（t）的能量为

2-6  设信号s（t）的傅里叶变换为S（f）＝sinπf/πf，试求此信号的自相关函数R_s（τ）。

解：方法1：该信号的能量谱密度为

其中

显然s（t）是一个门函数。利用时域卷积定理，可得自相关函数R_s（τ）为

方法2：由自相关函数定义式，并参照图2-4。

图2-4

可得

2-7  已知信号s（t）的自相关函数为

（1）试求其功率谱密度P_s（f）和功率P；

（2）试画出R_s（τ）和P_n（f）的曲线。

解：（1）信号s（t）的功率谱密度P_s（f）为

且功率P为

（2）R_s（τ）和P_s（f）的曲线如图2-5所示。

图2-5

2-8  已知信号s（t）的自相关函数R（τ）是周期T＝2的周期性函数，其在区间（－1，1）上的截断函数为

R_T（τ）＝1－│τ│　  －1≤τ＜1

试求s（t）的功率谱密度P（f）并画出其曲线。

解：s（t）的自相关函数可表示为

R（τ）＝R_T（τ）*δ_T（τ）

　 其中

已知功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换。利用时域卷积特性，可得s（t）的功率谱密度为

其波形如图2-6所示。

图2-6

2-9  （1）求正弦信号c（t）＝sinω₀t的频谱（密度）；

（2）已知，试求x（t）＝s（t）sinω₀t的频谱（密度）。

解：（1）由欧拉公式可知

利用和傅里叶变换的频移特性，可得正弦信号的频谱为

（2）方法一：由（1）的结果和频域卷积定理，可得

方法二：因为，所以根据傅里叶变换的频移特性可直接得出