3.3　名校考研真题详解

一、判断题

窄带高斯噪声的同相分量和正交分量是低通型的噪声。（　　）[南邮2010研]

【答案】对

二、选择题

1．零均值广义平稳随机过程X（t）的平均功率是（　　）。[南邮2009研]

A．E[X（t）]

B．E2[X（t）]　 

C．R（∞）　 

D．D[X（t）]

【答案】D

【解析】广义平稳随机过程X（t）的平均功率为R（0）＝E[X2（t）]＝D[X（t）]＋E2[X（t）],此题中均值即E[X（t）]为0，所以E[X2（t）]＝D[X（t）]。直流功率为R（∞）或E2[X（t）]。

2．窄带高斯噪声的包络服从（　　）分布，而同相分量则服从（　　）分布。[南邮2010、2009研]

A．均匀；正态

B．瑞利；高斯　 

C．均匀；瑞利

D．不确定

【答案】B

【解析】窄带高斯噪声的相位服从均匀分布；其分布同相分量和正交分量皆为高斯过程。

三、计算题

1．有两个随机过程：

其中A、θ都是随机变量，ω_c是常数，若A、θ统计独立，且A均值为a，方差为σ2，θ是0到π服从均匀分布的随机变量。试求：

（1）ξ（t）和η（t）的互相关函数R_ξη（t，t＋τ）；

（2）ξ（t）的自相关函数R_ξ（t，t＋τ）；ξ（t）是否为广义平稳随机过程，为什么?

（3）η（t）是否为广义平稳随机过程，为什么? [河北大学2007研]

解：（1）由题意知

θ的概率分布为

所以ξ（t）和η（t）的互相关函数为

（2）由自相关函数的定义可得

又因为

所以E[ξ（t）]与时间t有关，即ξ（t）函数不是广义平稳随机过程。

（3）η（t）的数学期望为

所以η（t）不是广义平稳随机过程。

2．设其中n（t）是双边功率谱密度为的高斯白噪声，和为确定函数，求和统计独立的条件。[国防科技大学2006研]

解：由题可知

又因为n（t）是高斯过程，所以是服从联合高斯分布的随机变量，故欲使和统计独立，需满足

所以和统计独立的条件为

即正交。

3．均值为零、双边功率谱密度为的高斯白噪声n_w（t）输入如图3-1所示系统。其中BPF和LPF是幅度增益为1的理想带通滤波器和理想低通滤波器。BPF的中心频率是f_c，带宽是2B，LPF的截止频率是B。

图3-1

（1）求输出噪声n₀（t）的均值和功率；

（2）求输出噪声n₀（t）的功率谱密度。[北科2010研]

解：（1）噪声n_w（t）经过BPF之后为窄带高斯噪声，其表达式为

其中，都是均值为0的平稳高斯过程，功率均为。

经过LPF后的输出为

所以输出噪声的均值为0，输出噪声的功率为

（2）因为LPF的带宽为B，所以功率谱密度在内为常数，在为0，而，故输出噪声的功率谱密度为

4．已有一均值为0，自相关函数为10δ（γ）的高斯过程，通过带宽为B Hz的理想低通滤波器，试求：

（1）输出过程的功率谱密度和自相关函数；

（2）输出过程的一维概率密度函数。[南邮2007研]

解：（1）因为且输入过程的自相关函数为R_i（τ）＝10δ（γ），所以输入过程的S_i（ω）＝10。

输出过程的功率谱密度为

而

所以

又有输出过程中，所以有

（2）由于其输入过程是一个高斯过程，且经过理想低通滤波器，所以其输出过程也是高斯平稳随机过程，且均值为0，方差为10B，所以其一维概率密度为

5．广义平稳的随机过程X（t）通过图3-2所示线性时不变系统，已知X（t）的自相关函数为R_x（τ），功率谱密度为P_x（ω）。试求：

（1）输出过程Y（t）的自相关函数；

（2）Y（t）的功率谱密度；

（3）写出系统的传递函数。[南邮2011、2009研]

图3-2

解：该系统的单位冲激响应为

其相应的传递函数为

所以Y（t）的功率谱密度为

Y（t）的自相关函数为

6．已知平稳随机过程x（t）的功率谱密度为P_x（ω），作用于如图3-3所示系统，试求输出过程y（t）的功率谱密度P_y（ω）。[南邮2006研]

图3-3

解：由图3-3可知，系统的传输函数为

故幅度函数为

因为x（t）平稳随机过程通过线性系统，所以有

7．一个零均值平稳高斯白噪声，其双边功率谱密度为，通过一个如图3-4所示的RC低通滤波器，试求：

（1）滤波器输出噪声的功率谱密度P₀（ω），自相关函数R₀（τ），输出功率S₀；

（2）写出输出噪声的一维概率密度函数f（x）。[北京师范大学2007研]

图3-4

解：（1）RC低通滤波器的传输函数H（ω）为

平稳随机过程通过线性系统后有

，由傅里叶变换可得

因为功率谱密度为

所以其自相关函数为

同理可求得

（2）输出为高斯过程为

由于方差为

所以

故输出过程的一维概率密度函数为

8．随机序列{a_n}中的a_n∈±1为独立等概的二进制随机变量。由{a_n}构成的冲激序列s（t）通过脉冲成型滤波器后得到PAM信号y（t），如图3-5（a）所示。

（1）若成形滤波器的冲激响应g（t）如图3-5（b）所示，试写出y（t）的功率谱表示式，并画出功率谱密度图（标上频率值）；

（2）若成形滤波器的冲激响应g（t）如图3-5（c）所示，试写出y（t）的功率谱表示式，并画出功率谱密度图（标上频率值）；

（3）在成形滤波器的冲激响应g（t）如图3-5（c）的情形下，写出第k个取样值y_k的表达式，写出y_k的各种可能取值及其发生概率，指出y_k中是否存在码间干扰。[北邮2006研]

图3-5

解：设P_S（f）是s（t）的功率谱密度，G（f）是g（t）的傅氏变换，则y（t）的功率谱密度为

由于，δ（t）的傅氏变换是1，所以。

因此

（1）由图3-5（b）得

则y（t）的功率谱为

其功率谱密度图如图3-6所示。

图3-6

（2）由图3-5（c）得

则y（t）的功率谱为

其功率谱密度图如图3-7所示。

图3-7

（3）由题意得

则y_k的可能取值为－2，0，＋2，相应概率分别为。且y_k中存在码间干扰。