第3章　随机过程

3.1　复习笔记

一、随机过程的基本概念

1、随机过程的两种定义

①随机过程是所有样本函数的集合，记为ξ(t)。

样本函数：实验过程中一个确定的时间函数x_i(t)，即指某一次具体的实现。

②随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

随机变量：某一固定时刻t₁，不同样本函数的取值即为一个随机变量ξ(t₁)。

2．随机过程的分布函数

（1）n维分布函数的定义

（2）n维概率密度函数的定义

如果

存在，则称其为ξ(t)的n维概率密度函数。

3．随机过程的数字特征

（1）均值（数学期望）

①均值的定义

随机过程ξ(t)的均值或数学期望定义为

②均值的意义

E[ξ(t)]是时间的确定函数，记为a(t)，表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。

（2）方差

①方差的定义

随机过程ξ(t)的方差定义为

常记为σ2(t)。

②方差的意义

方差等于均方差与均值平方之差，表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离程度。

（3）相关函数

①协方差函数

协方差函数的定义为

②自相关函数

自相关函数的定义为

③R(t₁，t₂)与B(t₁，t₂)的关系

④R(t₁，t₂)与B(t₁，t₂)的意义

衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

⑤互相关函数

设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数定义为

二、平稳随机过程

1．平稳随机过程

（1）严平稳随机过程的定义

若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有

则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

①一维概率密度与时间t无关，即

②二维分布函数只与时间间隔τ＝t₂－t₁有关，即

（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性

①均值

均值与t无关，为常数a，即

　 （3-1-1）

②自相关函数

自相关函数只与时间间隔τ＝t₂－t₁有关，即R(t₁，t₁＋τ)＝R(τ)。即

  （3-1-2）

（3）广义平稳随机过程

把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。

（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系

严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

2．各态历经性

（1）各态历经性的定义

随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。

（2）各态历经性的意义

具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。

（3）各态历经性与平稳随机过程的关系

具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

（4）各态历经性的实现

如果平稳过程使

成立，则称该平稳过程具有各态历经性。

3．平稳过程的自相关函数

（1）自相关函数的定义

设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为

（2）自相关函数的性质

①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；

②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；

③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；

④，表示ξ(t)的直流功率；

这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。所以

⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)＝σ2。

4．平稳过程的功率谱密度

（1）功率谱密度的定义

平稳过程ξ(t)的功率谱密度P_ξ(f)定义为

（2）功率谱密度的特性

①平稳过程的平均功率为

②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。即每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。

③功率谱密度P_ξ(f)具有非负性和实偶性，即有

和

三、高斯随机过程

1．高斯随机过程的定义

如果随机过程ξ(t)的任意n维（n＝1，2，…）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。其n维正态概率密度函数表示为

式中：;|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即

为行列式|B|中的元素b_jk的代数余因子；b_jk为归一化协方差函数，即

2．高斯随机过程的重要性质

（1）高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差；

（2）广义平稳的高斯过程是严平稳的；

（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有b_jk＝0，那么它们也是统计独立的；

（4）高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程，即若线性系统的输入为高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。

3．高斯随机过程的随机变量

（1）一维概率密度函数

①表达式

高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为

②图像

图3-1  正态分布的概率密度

③特性

a．f(x)对称于x＝a这条直线，即

f(a＋x)＝f(a－x)

b．及；

c．a表示分布中心，σ称为标准偏差，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a＝0，σ＝1时，称为标准化的正态分布。即

（2）正态分布函数

①正态分布函数的定义

正态分布函数定义为正态分布的概率密度f(x)积分，即

②误差函数

a．误差函数的定义

erf(x)表示误差函数，其定义为

b．误差函数的性质

erf(0)＝0，erf(∞)＝1，erf（－x）＝－erf(x)。

c．误差函数表示分布函数

②互补误差函数

a．互补误差函数的定义

erfc(x)表示互补误差函数，其定义为

b．互补误差函数的性质

erfc(0)＝1，erfc(∞)＝0，erfc(－x)＝2－erfc(x)。

c．误差函数表示分布函数

正态分布函数可用互补误差函数erfc(x)表示为

d．互补误差函数的应用

当x＞a，互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比。

四、平稳随机过程通过线性系统

1．输出随机过程的表达式

输入与输出随机过程应满足

2．输出过程的统计特性

（1）输出过程ξ_o(t)的均值

式中，H(0)为线性系统在f＝0处的频率响应，即直流增益。因此输出过程的均值E[ξ_o(t)]是一个常数。

（2）输出过程ξ_o(t)的自相关函数

①输出过程ξ_o(t)的自相关函数的定义

②输出过程ξ_o(t)的自相关函数的特性

a．输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔τ的函数；

b．若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

（3）输出过程ξ_o(t)的功率谱密度

输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方，即

（4）输出过程ξ_o(t)的概率分布

高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程，有

五、窄带随机过程

1．窄带随机过程的定义

若随机过程ξ(t)的谱密度集中在中心频率f_c附近相对窄的频带范围Δf内，即满足条件，且f_c远离零频率，则称该ξ(t)为窄带随机过程。

2．窄带随机过程的表示

①一般正弦表达式

窄带随机过程的样本的波形如同一个包络和相位随机缓变的正弦波。即

式中，及分别为窄带随机过程ξ(t)的随机包络和随机相位；为正弦波的中心角频率。

②三角函数展开式

式中，ξ_c(t)是ξ(t)的同相分量；ξ_s(t)是ξ(t)的正交分量，则

3．窄带随机过程的统计特性

（1）ξ_c(t)和ξ_s(t)的统计特性

一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)：

①它的同相分量ξ_c(t)和正交分量ξ_s(t)同样是平稳高斯过程；

②ξ_c(t)和ξ_s(t)的均值为零，方差相同；

③在同一时刻上得到的ξ_c和ξ_s是互不相关的或统计独立的。

（2）的统计特性

一个均值为零、方差为的窄带平稳高斯过程ξ(t)：

①包络a_ξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φ_ξ(t)的一维分布是均匀分布；

②就一维分布而言，a_ξ(t)与φ_ξ(t)是统计独立的，即

六、正弦波加窄带高斯噪声

1．正弦波加窄带高斯噪声的表示

（1）设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为

式中，，为窄带高斯噪声，其均值为0，方差为；为正弦波的随机相位，在上均匀分布；振幅A和角频率均为确知量。

于是

2．正弦波加窄带高斯噪声的参量

（1）混合信号的包络

r(t)的包络为

（2）混合信号的相位

r(t)的相位为

（3）r(t)的包络和相位的数字特征

3．正弦波加窄带高斯噪声的统计特性

（1）包络的统计特征

①包络的概率密度函数为

②包络分布函数f(z)与信噪比的关系　 

a．小信噪比时，f(z)接近于瑞利分布；

b．大信噪比时，f(z)接近于高斯分布；

c．在一般情况下，f(z)是莱斯分布，又称广义瑞利分布。

（2）相位的统计特征

①小信噪比时，f(φ)接近于均匀分布；

②大信噪比时，f(φ)主要集中在有用信号相位附近。

七、高斯白噪声和带限白噪声

1．白噪声

（1）白噪声的定义

如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，即

或

式中，n₀为正常数，则称该噪声为白噪声，用n(t)表示。

（2）白噪声的自相关函数

白噪声的自相关函数为

　 　　　　　　  　 （3-1-3）

由式（3-1-3）可知，对于所有的都有，表明白噪声仅在时才相关，在任意两个时刻的随机变量不相关。

（3）白噪声的平均功率

由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即

（4）高斯白噪声

①高斯白噪声的定义

高斯白噪声是取值的概率分布服从高斯分布的白噪声。

②高斯白噪声的性质

高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

2．低通白噪声

（1）低通白噪声的定义

低通白噪声是通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道输出的白噪声，用n(t)表示。

（2）低通白噪声的功率谱密度

假设理想低通滤波器具有模为1、截止频率为｜f｜≤f_H的传输特性，则低通白噪声对应的功率谱密度为

（3）低通白噪声的自相关函数

①自相关函数表达式

②自相关函数的性质

由图3-2（b）可以看出，只有在上得到的随机变量才不相关。

（4）低通白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形表示

图3-2  低通白噪声的功率谱密度和自相关函数

3．带通白噪声

（1）带通白噪声的定义

带通白噪声是指通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道输出的白噪声，用n(t)表示。

（2）带通白噪声的功率谱密度

假设理想带通滤波器的传输特性为

则输出噪声的功率谱密度为

（3）带通白噪声的自相关函数

（4）带通白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形表示

图3-3  带通白噪声的功率谱密度和自相关函数

（5）带通白噪声的平均功率

其中，B是指理想矩形的带通滤波器的带宽。