第12章 能量法
一、填空题
在组合变形情况下，直杆长为l的横截面上同时存在轴力N（x）、扭矩Mn（x）和弯矩M（x），试写出组合变形时计算整个杆件总变形能的积分表达式U=______。[武汉理工大学2010研]
【答案】
二、选择题
某线弹性结构在F1单独作用下的外力功
，在F2单独作用下的外力功W2=
，其中△1和△2为沿相应载荷方向的位移，设在F1和F2共同作用下的外力功为W总，则（ ）。[北京航空航天大学2006研]
【答案】B
【解析】F1、F2共同作用时，除了有F1在F1作用点引起的位移，还有F2在F1作用点引起的位移
。此时总的外力功为：
三、计算题
1．平面刚架如图12-1所示，刚架各部分截面相同，弯曲刚度是EI。试用能量法求截面A的垂直位移和转角。[北京科技大学2011研]
图12-1
解：在已知力作用下，刚架的弯矩图如图12-2（a）所示。
（1）为求得截面A的垂直位移，故在A点施加竖直向下的单位载荷，在单位载荷作用下刚架的弯矩图如图12-2（b）所示。由图乘法得A点垂直位移：
结果为正说明位移的方向和所施加单位力的方向一致，为竖直向下。
图12-2
（2）为求得截面A的转角，故在A点施加单位弯矩，相对应刚架的弯矩图如图12-2（c）所示。由图乘法得A点转角为：
结果为正说明转角的方向和所施加单位力偶的方向一致，为逆时针。
2．图12-3所示平面刚架AB柱受有水平载荷q的作用，BC梁自由端C受有铅直载荷P的作用，试计算BC梁中点D的铅直位移δD。[武汉理工大学2010研]
图12-3
解：（1）建立如图12-4所示坐标系，该刚架的弯矩方程为：
CB段：
BA段：
为求得D截面的铅垂位移，在D截面施加一竖直向下的单位力，此时刚架的弯矩方程：
CD段：
DB段：
BA段：
图12-4
由能量法得到D截面的铅垂位移：
2．如图12-5所示，已知刚架的弯曲刚度为EI，试求支座C的反力并画出刚架的弯矩图。[中国矿业大学2009研]
图12-5
解：（1）解除C铰支座约束，代之以约束反力X，得基本静定系统，如图12-6（a）所示，并建立坐标系。由此可得到各段弯矩方程：
（a） （b）
图12-6
BC段 
BD段 
DA段 
刚架的应变能：
由变形协调条件知B点的铅垂位移为零，根据卡氏第二定理可得：
解得：
。
根据平衡方程可得该刚架的支反力分别为：
。
（2）弯矩图如图12-6（b）所示。
3．试作出图12-7所示刚架的弯矩图，并计算截面A、B沿AB方向的相对线位移。设抗弯刚度EI为常数。[西北工业大学2004研]
图12-7
解：（1）作刚架弯矩图
结构为单封闭框架，为三次超静定结构。取相当系统为以CD轴为对称轴的上半部分，如图12-8（a）所示，对称面（C、D）上的对称内力FN、M为零，故C、D截面仅存在内力
。而结构又关于AB轴对称，载荷反对称，故
必同向等值。对相当系统中任一点取矩或取
作上半部分弯矩图，然后用反对称性质（结构对称，载荷反对称，弯矩图反对称）作下半部分弯矩图，得刚架弯矩图如图12-43（b）所示。
（2）求A、B间相对位移
沿AB轴截开，在A、B面加一对单位力并作弯矩图如图12-8（c）所示，图中可以看出，单位力图
沿CD轴上、下对称，而弯矩图MF沿CD轴上、下反对称，故两图相乘可得截面A、B沿AB方向的相对线位移
。
（a） （b）
（c） （d）
图12-8