1.4 浆液在岩体裂隙中的流动机理

1.4.1 牛顿型浆液的流动公式

1.4.1.1 刘嘉材教授推导出的公式

设裂隙的宽度为δ，浆液黏度为μ，在孔内灌浆压力Pc作用下，浆液平行于裂缝面的平面径向流动（见图1-10），现从流域内取出任一流体单元（见图1-11）。

流体单位所受的外力为法向应力p和剪切应力τ，垂直于裂缝平面间无剪应力作用。若不计速度变化的影响，则沿单元中心径向轴方向的各分力之和应为零，即：

式中：v为浆液在缝内的流速；γ为浆液的重度；J为浆液的坡降；δ为缝宽。

在平面径向流中，浆液流量为：

距灌浆孔距离为r处的灌浆压力为：

式中：P为半径为r处的压力；Pc为灌浆孔内的压力；rc为灌浆孔半径。

式（1-29）表明，在灌浆过程中，距灌浆孔轴线距离为r的任意一点处的灌浆压力衰减值，与扩散半径的对数成正比，与浆液黏度成正比，与缝宽的三次方成反比。因此，缝隙的宽度愈小，压力衰减得越厉害。设灌浆岩缝内浆液压力为P0，当灌浆压力P=P0，可求得灌浆压力的最大影响半径：

灌浆孔内吸浆量为：

单位时间内灌入缝内的浆量应等于在该时段内增大扩散半径所需的浆量，积分得到：

式中：t为浆液扩散半径达到r时所需的历时。

1.4.1.2 贝克（Baker）公式

假设在灌浆孔横穿宽度为δ的单个平滑的裂隙的理想情况下，浆液注入量可按下式计算：

式中：R为浆液的扩散半径；r0为灌浆孔半径；μ为浆液的黏度；δ为裂隙的宽度；ρ为浆液的密度；g为重力加速度；H为灌浆段的埋深。

1.4.1.3 二维粗糙裂隙中浆液的流动公式

假设岩体内存在一水平粗糙裂隙，并充满地下水。在灌浆过程中，地下水推动浆液向外流动。建立两个区内的流动方程：

在浆液流动区：

在水流动区：

式中：Pg为浆区灌浆压力；Pω为水流动区的水压力；qg为浆液流量；qω为水流量；ξ为浆流场或水流场中任意一点的半径；r0为灌浆孔半径；re为浆液的影响半径。

边界条件：ξ=r0, Pg=Pe; ξ=re, Pω=Pe; ξ=r, Pg=Pω, qg=qω。求解上述方程的定解问题，得：

式中：P0为灌浆孔底压力；Pe为地下静水压力。

1.4.2 宾汉姆浆液扩散公式

1.4.2.1 维特科（Wittke）和沃尔尼（Wallner）公式

在二维平面等厚光滑裂隙中，宾汉姆浆液在压力作用下产生流动。根据浆液平衡方程和边界条件。推导出浆液在裂隙中压力分布及最终扩散范围如下：

式中：P0为孔内裂隙面压力；r0为钻孔半径；δ为裂隙宽度；τ0为浆液的屈服强度；r为离灌浆源距离。

浆液在裂隙（δ）内流动时流动速率为：

式中：Ir为压力梯度；μ为浆液的塑性黏度。

宾汉姆型浆液的塑性黏度和屈服强度均影响浆液在裂隙中的平均运动速率，μ和τ0的增加均会降低进浆速率，延长灌浆历时。

1.4.2.2 H·B·加宾公式

H·B·加宾推导出单一水平裂缝中宾汉姆浆液辐射灌浆流量为：

式中：R为浆液的扩散半径；h0为流核半径。

H·B·加宾推导出单一水平裂缝中宾汉姆浆液辐射流动时的压力计算式：

式中：rc为灌浆孔半径；Q为灌浆流量；τ0为浆液的动切力。

1.4.2.3 隆巴迪（G·Lombadi）公式

对缝宽为δ的裂缝，浆液最大扩散半径Rmax为：

式中：Pmax为最大灌浆压力；τ0为浆液剪切力。

最大吸浆量：

最大上抬力：