3.3 非线性调制与解调

3.3.1 非线性调制一般概念

调制实质上就是利用高频载波的三个参数（幅度、频率、相位）之一携带调制信号的信息。线性调制使载波的幅度随调制信号f（t）发生线性变化，而载波的瞬时频率或相位随f（t）而线性变化，即f（t）控制载波的瞬时频率或相位变化，其变化的周期由f（t）的频率决定，而幅度则保持不变的调制就是角度调制，也称角调制。根据f（t）控制的是载波的角频率还是相位，可将角调制分为频率调制（Frequency Modulation）和相位调制（Phase Modulation）。其中，频率调制简称调频，记为FM；相位调制简称调相，记为PM。

角调制中已调信号的频谱不像线性调制那样还和调制信号频谱之间保持某种线性关系，其频谱结构已经完全变化，出现许多新频率分量，也称角调制为非线性调制。

设载波信号为Acos（ωct+φ0），则角调制信号可统一表示为瞬时相位θ（t）的函数，即

s（t）=Acos[θ（t）] （3-20）

由此，可以推出调频信号和调相信号的时域表达式。

根据前面对调频的定义，调频信号的载波频率增量将和调制信号f（t）成比例，即

Δω=KFMf（t） （3-21）

故调频信号的瞬时频率为

ω=ωc+Δω=ωc+KFMf（t） （3-22）

KFM称为频偏指数，它完全由电路参数确定。由于瞬时角频率ω（t）和瞬时相角θ（t）之间存在如下关系

此时的瞬时相位θ（t）为

θ（t）=ωct+KFM∫f（t）dt （3-24）

故调频信号的时域表达式为

sFM（t）=Acos[ωct+KFM∫f（t）dt] （3-25）

与此类似，调相信号的相位增量为

Δθ=KPMf（t） （3-26）

式中，KPM为相偏指数，由电路参数决定。故调相信号的时域表达式为

sPM（t）=Acos[ωct+KPMf（t）] （3-27）

令调制信号f（t）=Amcosωm（t），代入式（3-25）和式（3-27），可以得出单频正弦信号的调频、调相信号表达式分别为

sFM（t）=Acos[ωct+βFMsinωmt] （3-28）

sPM（t）=Amcos[ωct+βPMcosωmt] （3-29）

式中，称作调频指数；Δfmax为调频过程中的最大频偏；βPM=KPMAm，称为调相指数，它表示调相过程中的最大相位偏移Δωmax。显然，调频指数βFM和调相指数βPM由电路参数和调制信号的参量共同决定。

根据式（3-28）、式（3-29）画出了正弦信号f（t）=Amcosωm（t）对载波Acosωot分别进行调频和调相时的波形，如图3-20所示。其中（a）图所示为调频信号sFM（t），（b）图所示为调相信号sPM（t）。

比较两图可以看出，调频信号的波形疏密程度和调制信号f（t）完全一致。当f（t）取正的最大值时，sFM（t）频率最高，即此时频偏最大，波形上对应位置处密度最大；当f（t）取负的最小值时，sFM（t）频率最低，此时频偏也最大，但波形上对应位置处却密度最小，即此时的频偏是最大负频偏。而调相信号的波形疏密程度却和调制信号f（t）有90°的偏差，这是因为瞬时相位和瞬时频率之间是一个微、积分的关系。

下面分别具体分析频率调制和相位调制的相关问题。

3.3.2 频率调制系统

频率调制通常可分为窄带调频和宽带调频两种，其划分依据为调频的瞬时相位偏移是否远小于0.5或。即当式（3-30）成立时，调频为窄带调频，否则即为宽带调频。

一般地，窄带调频简记为NBFM，宽带调频则记为WBFM。

3.3.2.1 窄带频率调制NBFM系统

前已介绍了频率调制信号的时域表达式，根据式（3-30），窄带调频信号的时域表达式为

因为或0.5，所以

代入式（3-31）中，可得

设调制信号f（t）为零均值信号，其频谱为F（ω），对式（3-32）进行傅里叶变换，可得出窄带调频信号的频谱为

当调制信号为单频信号时，设f（t）=cosωm（t），则由式（3-33）可画出此时调频信号的频谱，如图3-21所示。其中，图（a）和图（b）分别为调制信号f（t）、常规双边带调制信号sAM（t）和窄带调频信号sNBFM（t）的频谱。

明显地，图（a）和图（b）非常相似，这说明单频信号的窄带调频信号和常规调幅信号的频谱是比较接近的。它们都含有（ωc）和（ωc±ωm）频率分量，且两种信号的带宽都一样，即BAM=BNBFM=2fm，只是窄带调频信号中（ωc+ωm）分量与（ωc-ωm）分量是反相的，即图（b）中（ωc+ωm）频率分量的谱线是向上的。

由式（3-33），同样可以画出任意波形的窄带调频信号频谱，且它们同样也和常规调幅信号频谱相似，也是窄带调频信号的频谱中（ωc+ωm）与（ωc-ωm）彼此反向，带宽也为BNBFM=2fm（fm为调制信号的最高频率）。

3.3.2.2 宽带调频WBFM系统

当调频信号的瞬时相位偏移不满足前述窄带调频的条件式（3-30）时，就称此频率调制为宽带调频。

由于不满足条件式（3-30），故调频信号的表示式（3-25）就不能简化为式（3-32）那样的形式。对一般信号的调频信号分析比较困难，因此我们主要介绍单频信号调制下的宽带调频信号，使读者由此对宽带调频信号的基本性质有所理解和掌握。

对于单频信号进行调制生成的调频信号，根据式（3-25）和式（3-28），利用三角公式可得：

sFM（t）=Acos（ωct+βFMsinωmt）

=Acosωctcos（βFMsinωmt）-Asinωctsin（βFMsinωmt） （3-34）

其中

式中，Jn（βFM）称为第一类n阶贝塞尔函数，具体数值参见附录A，它具有如下三个基本性质：

（1）J-n（βFM）=（-1）nJn（βFM）（3-37）

即当n为奇数时，J-n（βFM）=-Jn（βFM）；当n为偶数时，J-n（βFM）=Jn（βFM）。

（2）当调频指数βFM很小时：

J0（βFM）≈1； J1（βFM）≈βFM/2； Jn（βFM）≈0，（n＞1） （3-38）

（3）对βFM的任意取值，各阶贝塞尔函数的平方和恒为1，即

利用上述贝塞尔函数性质及式（3-35）、式（3-36），可将式（3-34）改写为

以下是对式（3-40）的证明：

左边

右边

2AJ3（βFM）sinωctsin3ωmt+2AJ4（βFM）cosωctcos4ωmt+… （3-42）

由此可证明，左右两式相等，所以式（3-40）成立。

对式（3-40）进行傅里叶变换，得出单频调制时宽带调频信号的频谱为

SFM（ω）=πA∑Jn（βFM）[δ（ω-ωc-nωm）+δ（ω+ωc+nωm）] （3-43）

式（3-43）说明，调频信号将生成无限多个频谱分量，各分量都以ωm的间隔等距离地以载频ωc为中心分布，每个边频分量ωc+nωm的幅度都正比于Jn（βFM）的值，而载频分量的幅度则正比于J0（βFM）。由此可知，调频信号的带宽应当为无穷大，但是通过贝塞尔函数表可知，随着n的增大，Jn（βFM）的值迅速减小，故绝大部分高次边频分量均可被忽略。那么，究竟多少次边频就可以开始不予考虑呢？一般工程中，都按照卡森公式来计算调频信号的带宽，即

也就是说，对于n≥（βFM+2）次的边频分量，可以忽略不记。

当βM《1，即窄带调频时，卡森公式可近似为BFM=2fm；

当βM》1时，卡森公式可近似为BFM=2βFMfm=2Δfmax。

由贝塞尔函数的基本性质（3）可知，调频信号的所有边频分量的功率之和加上载频分量的功率将为常数。可以证明，这个常数值就是未调载波的功率A2/2。也就是说，由于调频信号只改变载波的频率疏密程度，而不改变其幅度，故调频前后信号的总功率不变，只是由调频前的信号功率全部分配在载波上改为调频后分配在载频和各次边频分量上。

【例3-1】 设一个由10kHz的单频信号调制的调频信号，其最大频偏Δfmax为30kHz，试画出该调频信号的频谱，并求其载波分量以及前5次边频分量的功率之和。

解：由已知条件求出调频指数为

查贝塞尔函数表可得

J0（3）=-0.2601 J1（3）=0.3391 J2（3）=0.4861

J3（3）=0.3091J4（3）=0.1320J5（3）=0.0430

根据式（3-40），可知载波分量的功率为

而前五次边频分量的功率之和为

上面的计算说明，经过调频，载波分量的功率下降，其减小的功率就是分到各次边频上的功率。本例中只求了前5次边频分量的功率之和，它们占总功率的93.17%，而载波分量占6.76%。两部分加起来占总功率的99.17%，即剩余的所有无限多个边频分量的功率和仅仅只占总功率的0.07%，故完全可以忽略这些高次分量。其频谱图如图3-22所示。为简便起见，只画出了正频率部分的频谱，负半轴频谱与此完全对称。图中各谱线位置仅标±nωm值，表示其频率为ωc±nωm。

可以看出，宽带调频的频谱由载频和无穷多个边频组成，这些边频都对称地分布在载频的两侧，相邻两点间隔ωm。但同阶的边频分量虽然对称分布于载频两侧，且幅度相等，但偶次边频幅度的符号相同，而奇次边频相对于载频的上、下谱线幅度则符号相反。即奇数阶下边频与其相应上边频互为反相。

调频信号的产生可以采用直接调频和间接调频法两种。直接调频就是用调制信号f（t）直接控制高频振荡器的元件参数（一般都是电感或者电容），使其振荡频率随着f（t）而变化。实际中最常用的变容二极管调频电路，就是利用变容二极管的容量随外加电压变化而改变的特性来改变输出振荡频率的。

直接调频线路简单、调制的频偏可以做到很大，但外界干扰因素也会引起振荡器的谐振回路变化，其振荡频率的稳定性较差，必须要有附加的稳频电路。

间接调频则是通过调相电路来产生调频信号的。根据式（3-25）、式（3-27）可知，若首先对调制信号f（t）积分，然后再对该积分信号调相，其输出的就是调频信号，如图3-23所示。由于f（t）不直接控制振荡器的振荡频率，故其输出频率较稳定，但频偏比较小，即调频程度不够深，一般都需要将该调频信号进行多次倍频后才能达到要求的调频指数βFM。通常，设初始调频指数为βFM，则经过n次倍频后，其调频指数将为nβFM。

调频信号的解调可以采用相干解调和非相干解调。最简单的非相干解调就是鉴频。鉴频器的形式很多，但它们的基本原理都是将微分器与包络检波器组合起来，提取出调频信号中调制信号f（t）的信息，即使鉴频器输出正比于KFMf（t），其框图如图3-24所示。

图中，输入调频信号为

sFM（t）=Acos[ωct+KFM∫f（t）dt]

经过微分器后的输出为

s′FM（t）=-A[ωc+KFMf（t）]sin[ωct+KFM∫f（t）dt] （3-45）

由于包络检波只提取信号的包络信息，故经过滤波后，电路输出为

so（t）=KdKFMf（t） （3-46）

式中，Kd为检波以及滤波电路引起的系数变化，这是一个常数，表征鉴频器对信号鉴频的影响或要求，通常称之为鉴频灵敏度。图中带通滤波器以及限幅电路都是用来降低包络检波电路对于信道干扰等引起的幅度变化的响应灵敏度，即提高鉴频器的抗干扰能力的。

实际调频通信系统中，现在都是采用集成锁相鉴频器，它的性能要比分离元件的鉴频器优越得多。在通信接收机与EM收音机中被大量应用。

由于窄带调频信号可以被分解为如式（3-32）所示的同相分量与正交分量之和的形式，故它的解调可以采取如线性调制信号那样的相干解调方式，如图3-25所示。

图中，带通滤波器的输出信号为

经过相乘器后，有

经过微分以及滤波以后，其输出为

明显地，该解调方法只适用于窄带调频信号。

3.3.3 相位调制系统

本节一开始就介绍了调相信号的波形以及时域表达式，它的瞬时相位θ（t）是调制信号f（t）的线性函数，即

sPM（t）=Acos[ωct+KPMf（t）]

和频率调制一样，调相也有宽带调相和窄带调相之分。它的划分依据是

3.3.3.1 窄带调相NBPM

和窄带调频相似，利用条件式（3-49）可以得出窄带调相的表达式为

sNBPM（t）≈Acosωct-AKPMf（t）sinωct （3-50）

与此相应的，窄带调相的频谱为

由式（3-51）可知，和窄带调频一样，窄带调相信号的频谱也和常规双边带调制信号频谱相似，只是调相信号的调制信号的频谱在搬移到±ωc时分别移相±90°。

3.3.3.2 宽带调相WBPM

当调相信号不满足条件式（3-49）时，就称之为宽带调相。由于宽带调相信号分析复杂，我们只考虑调制信号为单频信号时的情况。利用贝塞尔函数，可以得到单频调相信号的另一种表示形式为

同样地，可由式（3-52）得出单频调制时宽带调相信号的频谱为

可以看出，调相信号的频谱和调频信号相似，也包含有无限多个频率分量，且都同样以ωm的间隔等距离地分布在载频ωc的两侧，其幅度都和Jn（βPM）成正比，随着n的增加，Jn（βPM）迅速减小。因此，虽然调相信号的带宽也应当为无穷大，但它同样可以按照卡森公式来计算其带宽，即

BPM=2（1+βPM）fm （3-54）

式（3-54）表示一般情况只考虑到βPM+1次边频分量就足够了。

由于调相指数βPM=KPMAm，而调频指数，所以，当调制信号f（t）的角频率ωm增大（或减小）时，βPM不变而βFM将随之减小（或增大）。故调相信号的带宽就要随f（t）的ωm增加而增加，但调频信号由于其βFM与ωm反向变化，故调频信号的带宽随ωm的变化而改变很小。这就是调频技术比调相应用广泛的主要原因。

比较式（3-25）、式（3-27）可以发现，如果令g1（t）=∫f（t）dt，把g1（t）作为调制信号代入调相信号的表达式中，得到的将是g1（t）的调频信号。同样地，若令，再把g2（t）作为调制信号代入调频信号表达式中，则得到的是g2（t）的调相信号。可以说，调频和调相二者之间没有本质区别，这是因为载波频率的任何改变都必然会导致其相位的变化，反之亦然。所以，和图3-22一样，也可以利用频率调制电路来实现相位调制，即将f（t）先进行微分，再进行调频即可以得到调相信号，如图3-26所示。

尽管调频和调相关系密切，但调频系统的性能优于调相系统。故一般模拟调制中都采用调频而非调相，只是把调相电路作为产生调频信号的一种方法。

和调幅制相比，角度调制的主要优点是抗干扰性能强，而且，传输的带宽越大，抗干扰的性能就越强。这样，可以通过增加已调信号的带宽的办法来换取接收机的接收端输出的信噪比的提高。缺点是占用频带宽（指宽带FM），设备比AM系统复杂。调频制主要用于调频广播、电视、通信及遥控遥测等设备中。相位调制主要用于数字通信系统和产生间接调频。